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1、B1B20”（其证明可借助向量知识完成）解题.典型例题一例1已知A(0,3),B(1,0),C(3,0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为等腰梯形.分析：利用等腰梯形所具备的性质“两底互相平行且两腰长相等”进行解题.解：如图，设D(x,y)，若AB//CD，则kABkCD，ADBC30y0即01x3，22x2(y3)23116.163由①、②解得D(1f,
2、).若AD//BC，则kADkBC,ADBC,0,(x3)2y21232.④由③、④式解得D(2,3)•163故D点的坐标为(一,—)或(2,3)•II说明：(1)把哪两条边作为梯形的底是讨论的标准，解此题时注意不要漏解.(2)在遇
3、到两直线平行问题时，一定要注意直线斜率不存在的情况.此题中AB、BC的斜率都存在，故不可能出现斜率不存在的情况.典型例题例2当a为何值时，直线h：(a2)x(1a)y10与直线l2:(a1)x(2a3)y20互相垂直？分析：分类讨论，利用两直线垂直的充要条件进行求解•或利用结论“设直线
4、1和
5、2的方程分别是h：AxByC10,J:A2XB?yC20,贝UhI2的充要条件是B1B20”（其证明可借助向量知识完成）解题.解法一：由题意，直线na.（1）若1a0，即a1，此时直线h：3x10,J：5y20显然垂直；3⑵若2a30，即a—时，直线h：x5y20与直线S：5x40不垂直;2⑶若1
6、a0，且2a30，则直线h、I2斜率&、k?存在，a12a3a2a11,当l1I2时，k1k21，即（）（）1a2a3a1.解法二：由于直线
7、1综上可知，当a1或a1时，直线l1l2.I2，所以(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得a故当a1或a1时，直线
8、1
9、2.说明：对于本题，容易出现忽视斜率存在性而引发的解题错误，如先认可两直线
10、1、
11、2的斜率分别为k1、k2，贝yk1a2,a11a，22a3B1B20”（其证明可借助向量知识完成）解题.B1B20”（其证明可借助向量知识完成）解题.1.1，即（解上述方程为a1.从而得到当a1时，直线
12、1与
13、2互相垂直.上述解题的失误在于机械
14、地套用两直线垂直（斜率形式）的充要条件，忽视了斜率存在的大前提，因而失去对另一种斜率不存在时两直线垂直的考虑，出现了以偏概全的错误.典型例题三例3已知直线I经过点P（3,1），且被两平行直线h：xy10和l2:xy60截得的线段之长为5，求直线l的方程.分析：⑴如图，利用点斜式方程，分别与l1、J联立，求得两交点A、B的坐标（用k表示），再利用AB5可求出k的值，从而求得l的方程.⑵利用l1、I2之间的距离及I与l1夹角的关系求解.⑶设直线I与I1、2分别相交于A（X1,y』、B（X2,y2），则可通过求出y目2、X1X2的值，确定直线I的斜率（或倾斜角），从而求得直线I的方程.F才
15、解法一：若直线I的斜率不存在，则直线I的方程为x3，此时与11、
16、2的交点分别为A(3,4)和B(3,9)，截得的线段AB的长AB5，符合题意,若直线I的斜率存在，则设直线I的方程为yk(x3)解方程组yXk(Xy13)0,11，得A3k2k14k解方程组yXk(Xy63)0,11，得B3k79k1k1由AB5，得3kT123k7k14k1k19kT152.解之，得k0,综上可知，所求即欲求的直线方程为I的方程为X3或yy1-1.解法二：由题意，直线I1、I2之间的距离为d5.21，且直线I被平等直线li、I2所截得的线段AB的长为5(如上图)，设直线I与直线Ii的夹角为故•••45
17、.由直线h：xy10的倾斜角为135°,知直线I的倾斜角为0°或90°,又由直线I过点P(3,1),故直线I的方程为x3或y1.解法三:设直线I与I1、I2分别相交A^y)、，则:X1y110,X2y2两式相减，得(X1X2)(y1y2)52又(X1X2)(%y2)225x1x25x1x20联立①、②，可得12或12y1y20y1y25由上可知，直线l的倾斜角分别为0°或90°．故所求直线方程为x3或y1．说明：本题容易产生的误解是默认直线l的斜率存在，这样由解法一就只能得到k0，从而遗漏了斜率不存在的情形．一般地，求过一定点，且被两已知平行直线截得的线段为定长a的直线，当a小于两平行
18、直线之间距离d时无解；当ad时有唯一解；当ad时，有且只有两解．另外，本题的三种解法中，解法二采取先求出夹角后，再求直线l的斜率或倾斜角，从方法上看较为简单；而解法三注意了利用整体思想处理问题，在一定程度上也简化了运算过程．典型例题四例4已知点A1，3，B3，1，点C在坐标轴上，且ACB90，则满足条件的点C的个数是（）．（A）1（B）2（C）3（D）4解：点C在坐标轴上，可有两种情况，即在x轴或y轴上，点C的坐标可设为x,0或y，0．由题意,
