数值微分和微分方程.docx

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第四章数值微分和微分方程第一节数值微分理论基础：Taylor展开XfX0XX0X。2XX°2!nLXX0fnn!导数定义X。Xklim山X0fXk我们取均匀的xk1xk这是两点公式（即Euler方法）,h是h的量级。h来源于fXk1fXkhXkhn1n!XkL(4.1.1)的2；f耳项。若希望提高精度,可设法消除这一项fXk1f兀hXkh2!XkLn1hfn!XkL(4.1.2)kJLah2k2h(4.1.1)+(4.1.2)可得上式，h2来自fxk的项,这称3点公式o 注意：这时f2nXk的项都被消去了5点公式h41■――fk28fk18fk1fk212h对二级导数3点公式fkk12fkfk12—h由(4.1.1)—(4.1.2)可得上式5点公式(习题)fk2h41k而fk216fk130fk16fk第二节初值问题微分方程大体可分三类初值问题边值问题本征值问题我们这里关心初值问题dygy,t,yytdt与简单的数值微分比较，dy还是y(t)的函数dt时间分立化，令tn1tnEuler方法2yn1yn9nynytn,gngyn,tn 这方法误差太大，如何提高精度呢？yt是未知数,我们可以参考简单的数值微分的思想，但这里dy与yt有关，问题相对复杂。dtPicard方法3yn1yn2gngn1gn1gyn1，tn1证明：微分方程可写为tnmynmyntgy,tdt取m1tn1Yn1Yntgy,tdttn数值积分bSfxdxahXk1Xkxk1xdxk0k0XkfxxXkf.fkk0k0零阶近似fxfkhn1Shfkhk0n1hfkhk0 g(y,t)^^gni^^^gn2一阶近似kxXkk1fkhh2xk1Xkxkdx2Xk122XkXkXkXk1h21fkh02fkfkhh2tn1tntn2yntnggy(t),tdtfk1y,tdth2g(y(tn),tn)g(y(tn1),tn1)?gngn1g(y,t)^^gni^^^gn2g(y,t)^^gni^^^gn21从直观看，用2gn比只用gn或gn1好。g(y,t)^^gni^^^gn2g(y,t)^^gni^^^gn2但是，这一方法需要知道gn1，即yn1y(tn1)g(y,t)^^gni^^^gn2g(y,t)^^gni^^^gn2Predictor-Corrector方法简单方法用Euler方法，求ytn1，再用Picard方法得到更准确的y人1。改进方法取m2tn2yn2yntgy,tdttngy(t),t;g(y(tn),tn)(ttn)g(y(tn1),tnJg(y(tn),tn)O(2)gy(t),t;g(y(tn1),tn1)(ttn’)g(y(tn1tn1)g(y(tn),tn)°(2) g(y,t)^^gni^^^gn2做积分tn2tngy,tdt得到tn2tntndt2这类方法的缺点是，带来误差。tn2tntn1dt0我们需要估计多点的初始条件，这本身便会第三节Runge-Kutta方法这方法可以避免多点初始条件级数展开gyt,t22gtggy如果我们希望准确到2项，只需计算gt和gy。近似计算gt和gy的方法不唯一设ytytiki2k2 g(y,t)^^gni^^^gn2kigyt,tk2gy2iki,t2i2g2igtggy g(y,t)^^gni^^^gn2ytyt21gtggy我们必须取221例如：取211只需要初始条件y0y0,0即可求解方程。第四节边值和本征值问题典型的边值问题由二阶微分方程给出u''f(u,u',x)不失一般性，设边界在x0和x1处边界条件有四类(1)u(0)u。u(1)u1(2)u(0)u。u'(1)V(3)u'(0)V。u(1)u1(4)u'(0)V0u'(1)V g(y,t)^^gni^^^gn2边值问题比初值问题难，因为我们不能简单用‘迭代’方法求解。‘迭代’需要已知u(0)和u'(0)。本征值问题比边值问题还难，需要求解带特殊参数的微分方程u''f(u,u',x,)这里在边界条件确定时，只能取特殊值方程才有解。例如，量子力学的本征方程，给出量子化的物理量。 Theshootingmethod对第(1)类边值问题，1)设u(0)Uou'(0)然后用初值问题中的迭代方法求解方程。当然，得到的结果U(1)—般和给定的边值u(1)Ui不一致。2)改变，求f()u(1)Ui0的根Newton方法设Xo是f(x)的零点，x是零点附近的尝试点，可作级数展开，2x0Xfx0fxx0xfxfxL02!当x足够靠近X。，高阶项可略去，X。可看作更靠近零点的尝试点。所以，fxnxn1XnXn0求f()u(1)U10的根，可用Secant方法求f()u(1)U10的根，可用Secant方法冷1XnfXn/fxnSecant方法我们可以近似计算fxn，Xn1X(xn冷1)f冷/(fXnfXn1)0Newton方法和Secant方法的比较Newton方法是一点方法，即只需要已知f(xn)和f'(xn)Secant是两点方法，好处是不必已知f'(xn)。求f()u(1)U10的根，可用Secant方法