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1、特别解析：线性规划求最值、目标函数线的平移法：利用直线的截距解决最值问题例1已知点P(x,y)在不等式组y1<0,表示的平面区域上运动，贝Uzxy的(2,0)时，目标函数zxy取值范围是().(A)[—2,-1](B):-2,1:(C)[—1,2](D):1,2]解析：由线性约束条件画出可行域，考虑zxy,变形为yxz，这是斜率为1且随z变化的一族平行直线.z是直线在y轴上的截距.当直线满足约束条件且经过点取得最大值为2；直线经过点(0,1)时，目标函数zxy取得最小值为—1.故选(C).注：本题用"交点法”求出三个交点坐标分别为(0
2、,1),(2,1),(2,0),然后再代入目标函数求出z=x-y的取值范围为［1,2］更为简单.xy0例2已知实数x、y满足约束条件xy50，则z2x4y的最小值为(x31z分析：将目标函数变形可得y?x4，所求的目标函数的最小值即一组平行直1-xb在经过可行域时在y轴上的截距的最小值的4倍。2解析：由实数x、y满足的约束条件，作可行域如图所示:yW当一组平行直线L经过图中可行域三角形ABC区域的点C时，在y轴上的截距最小，又C(3,3)，故z2x4y的最小值为Zmin234(3)6。、数行结合，构造斜率法：利用直线的斜率解决最值问题x
3、y2<0,例3设实数x,y满足xc2y4>0,,则z—的最大值是x2y3<0,解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC(如图2),z————0表示两点xx00(0,0)P(x,y)确定的直线的斜率，要求z的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值.由图2可以看出直线OP的斜率最大，故P为x2y40与2y30的交点，即A点.•••pi,3.故答案为32注：解决本题的关键是理解目标函数几何意义，当然本题也可设-t,xytx，即为求ytx的斜率的最大值.由图2可知,ytx过点a时,t最大.代入ytx，求出tX2丁一4=0即得到的最大
4、值是32例3.已知实数x、y满足不等式组x2y24,求函数x0解析：所给的不等式组表示圆x24的右半圆(含边界),亠-2O.■-x?(-i,-3)仏虫可理解为过定点P(x11,3),斜率为z的直线族.问题的几何意义：求过半圆域x2y24(x0)上任一点与点P(1,3)的直线斜率的最大、最小值.由图知，过点P和点A(0,2)的直线斜率最大，Zmax点P所作半圆的切线的斜率最小.设切点为B(a,b)，则过B点的切线方程为axby4•又23晶a2b2B在半圆周上，P在切线上，则有4解得a5_因此Zmin263a3b4b353、平面内两点间的
5、距离型(或距离的平方型)，构造两点间的距离公式法解决最值问题xy10例5已知实数x、y满足xy10，则wx22y4x4y8的最值为.y1解析：目标函数2wx2y4x4y8(x2)2(y2)2，其含义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方。由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图所示:可行域为图中VABC内部(包括边界)，易求B(-2，-1)，结合图形知，点(2,2)到点B的距离为其到可行域内点的最大值，22Wmax(22)(12)25；点(2,2)到直线x+y-1=0的距离为其到可行域内点的最小值,Wmin12_2_1
6、3.222xy
7、2>0,22已知xy4>0,,求zxy10y25的最小值.2xy5<0,解析：作出可行域，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)•而zx2(y5)2表示可行域内任一点(x,y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是2MN、点到直线的距离等.注：充分理解目标函数的几何意义，如两点间的距离(或平方)四、点到直线的距离型已知实数x、y满足2xy1,求ux2y24x2y的最小值。解析：目标函数ux2y24x2y(x2)2(y1)25，其含义是点(-2,1)与2x+y=1的距
8、离，由点到直线的距离公A(1,3)、B(3,1)、C(乙9)•而zx2(y5)2可行域内的点的最小距离的平方减5。由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图所示、xj1y?(-2,1)1■O12卜「2x+y=1式可求得d
9、2(2)11
10、45,故d25兰5目555xy2>o,例8已知xy4>0,,22求zxy10y25的最小值.2xy5<0,点（-2,1）至问行域内的点的最小距离为其到直线解析：作出可行域，并求出顶点的坐标表示可行域内任一点（x,y）到定点M（0,5）的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值
11、是2MN五、变换问题研究目标函数y（08年山东）已知xxy2，且z2xy的最大值是最小值的3倍，a等于（xa解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题,准确画图找到可行域是关键•如图所示，z2x点和B点分别
