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1、王进明初等数论习题及作业解答P17习题1-11,2(2)(3),3,7,11,12为作业。1•已知两整数相除，得商12,余数26,又知被除数、除数、商及余数之和为454.求被除数.解：a12b26,ab1226454,12b26b1226454,(121)b454122626390,b=30,被除数a=12b+26=360+26=386.若n=3k+1,k€Z,则32(3k)3(3k)3(3k)129k(3k3k1)1,r=1;若n=3k—1,k€Z,则32(3k)3(3k)3(3k)1329(3k3kk1)8,r=8.
2、或证:当n€Z时,32nn因为——322n3(n由k!2!
3、(n23nn1)n(n必整除1)n,6的值是整数。6=垃乎」，只需证明分子n(2n23n1)(n1)n(2n2n1)=n(n1)(n2)(nk个连续整数知：6
4、n(n1)(n1)2n33n2n是6的倍数。1)n(n2),6
5、1).(n1)n(n1).(n1)n必为偶数.故只需证3
6、(n1)n(2n1).这题的后面部分是小学数学的典型问题之一一一“和倍”问题2•证明：..3(1)当n€Z且n9qr(0r9)时，r只可能是0,1,8;证：把n按被9除的余数分类，即：
7、若n=3k,k€Z,则n327k3,r=0；若3
8、n,显然3
9、(n1)n(2n1);若n为3k+1,k€Z,则n—1是3的倍数，得知(n1)n(2n1)为3的倍数；若n为3k—1,k€乙贝U2n—1=2(3k—1)—仁6k-3,2n—1是3的倍数.综上所述，(n1)n(2n1)必是6的倍数，故命题得证。⑶若n为非负整数，则133
10、(11n+2+122n+1).证明：利用11n+2+122n+1=121X11n+12X144n=133X11n+12X(144n—11n)及例5的结论.⑷当mn,I€N+时，(mnl)!的值总
11、是整数m!n!丨！证明：(mnI)!=(mnl)(mn丨1)L(n丨1)(n1)(n丨1)L(I1)I!由k!必整除k个连续整数知：m!
12、(mnl)(mn丨1)L(n丨1),n!
13、(nl)(nl1)L(l⑸当a,b€Z且a工一b,⑹当a,b€Z且a工一b,利用例5结论：若a工b,a=(a+b)—b,nnbabbnbn则当解:或解1nn1)，从而由和的整除性即证得命题。n是双数时，ab
14、(anbn)；n是单数时，ab
15、(anbn).ab
16、(anbn).令b=—b*,即得。n为双数时，由二项式展开n1abb，证得。(6)当n
17、为单数时类似可得。3.已知ai,a2.a3,a4,a5,5b€Z,且a2b2，说明这六个数不能都是奇数.解：若这六个数都是奇数,1，kZ,i1,2,3,4,5，则52aii152(2R1)4i1i1k(ki1)5,5因为2
18、ki(ki1)，所以8
19、4k(k1)，15a28q5,qZ,而b2(2k1)24k(k1)1,b28q*1,k,q*Z,i1即等式左边被8除余5,而右边被8除余1,故不可能这六个数都是奇数。4•能否在下式的各□内填入加号或减号，使下式成立；能的话给出一种填法，否则，说明理由。1□2口3□4口5口6口7
20、口8□9=10不能，因为等式左边有单数个单数，它们的和差只能是奇数，而等式右边10为偶数。或解：无论各□内填入加号或减号，1□2□3口4口5□6□7口8□9+1+2+3+4+5+6+7+8+9总是偶数，而1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,因此的结果1口2□3口4口5□6口7口8口9一定是奇数。5.已知：2a,b,c均为奇数.证明axbxc0无有理根。证：若有有理根，记为卫，p,q互质，代入方程有a(P)2b—c0qqq即ap2bpqcq20,这是不可能的，因为p,q互质，二者不可能同时为偶数。若p为偶数，则ap2
21、bpq为偶数，但cq2是奇数，它们的和不可能为0;若q为偶数，则bpqcq为偶数，但ap是奇数，它们的和也不可能为0。6•在黑板上写出三个整数，然后擦去一个，换成其他两数之和加1，继续这样操作下去，最后得到三个数为35,47,83.问原来所写的三个数能否是2，4，6?解：不能.因为原来所写的三个数若是2,4,6,每次操作后剩下的三个数是两偶一奇.7.将1-—99这99个自然数依次写成一排，得一多位数A=1234567891011…979899，求A除以2或5、4或25、8或125、3或9、11的余数分别是多少？解：由数的
22、整除特征，2和5看末位，•••A除以2余1,A除以5余4;4和25看末两位，•••A除以4余3,A除以25余24;8和125看末三位，•A除以8余3，且除以125余24;3和9看各位数字的和，1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,A所有数字的和等于450,•A除以3和9都余0,A除以11的余数利用定理1.4,计算
