外接球内切球问题答案.docx

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1、1球与柱体规则的柱体,如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱柱的棱产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1球与正方体AB如图1所示1正方悔皿cd-佔G"设正方体的棱长为「出玖H口卞愚的中点,O为球的球心岸见组合方式有三类I一是球为正方体的内切球,截面图为正方形EFGE和其内切‘网OJ=r=^二是与正方体各樓相切的琥Sffi图桩方形閔和其外拷團则卜应二f◎三是球齿正方体■的外揺球観苗圄光快方形ACA^和其外接凰则凶O

2、二用二芈仃.通辿这三种粪型可以发现,解决正方体与球的组合问题,常用工具

3、是截面图,即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面,通过两个截面图的位置关系,确定好正方体的棱与球的半径的关系,进而将空间问题转化为平面问题例1棱长为1的正方体ABCDAiBiCiDi的8个顶点都在球0的表面上,E,F分别是棱AAi,DD1的中点,贝V直线EF被球0截得的线段长为()A.上2B.12C.1竺D.、221.2球与长方体长方体各顶点可在一个球面上,故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为a,b,c,其体对角线为I.当球为长方体的外接球时,截面图为长方体的对角面和其外接圆,和正方体的外接球的道理是一样的,故球的半径1Va2b2c2R.12

4、例2在长、宽、咼分别为2,2,4的长方体内有一个半径为1的球,任意摆动此长方体,10n8n7n则球经过的空间部分的体积为()A.B.4nC.「-D.~y1331.3球与正棱柱球2—般的正棱柱的组合体,常以外持形态居勢■下面以正三棱柱丸例,介绍本冀题目的解法构造宜角三幫形法•设正三擾柱ABC-A^的高为刚底命边长为乩如團2所示,刀和耳分别次上下底面的中心•根据几何(本的特廉.球心必落在高QD]的中点0・込异。皿込导伽直角三角形心的勾股定理,可正四棱柱ABCDA1B1C1D1的各顶点都在半径为R的球面上,则正四棱柱的侧面积有最值,为.2球与锥体规则的锥体,如正四面体、

5、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题•2.1球与正四面体P图4正匹面陳作丸一个规则的几何仲■,它既存在夕卜接球,也存在內切環并且两心仓一,利用这点可顺利解袂球的半径写正回而体的桧长的关系■如图设正四茴体E-jlBC的棱长为口‘内切球半径丸广,外接球的半径为丘,取卫占的中点.気E为W在底而的射影,连接匚口购,豳为正四面体的高■在截面三角形曲作一个2边SD和匚C相切,Hl心在高SS上的虱即沟内切球的截面•因為正四面体■本身的对称性可知,外接球和內切域的

6、球心同为6直时,CO=O^=R,QE=rRr侯R2「2阴普'解得:R孕,r导.这个解法是通过利用两心合一的思路,建立含有两个球的半径的等量关系进行求解•同时我们可以发现,球心0为正四面体高的四等分点•如果我们牢记这些数量关系,可为解题带来极大的方便例4将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为()A巧2怡B2+迹04+2/6d伍2品333f容器四面体”中的这四个小球,以四个小球为球心次顶点构成了一个棱长肯2的◎船C?正四而体这亍四面晰高量“单位正四面体”高普趴倍耐琴.臀沁面”的底面到“容器正四面库防的地俞为小球半繞1,而”琏心

7、正四百陳丹顶点到"容器正四酝郞事的顶点的距国灵3£小球半径的3仇于是“容器正四静”的高为琴+3+1庞择C.[这个讣胖径的3倍”是跻想亂做-林的外切正四面体,这个小球球心与外切正四面体的中心重合,而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的3倍.]2.2球与三条侧棱互相垂直的三棱锥.解决的球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题,主要是体现在球为三棱锥的外接球法,即把三棱链补形成正方体或者民方体•常见两种形式;杲三梭诡的三吳侧槓互相垂直节且相等,则可以补形为一个正方障,它的外博球的球心就是三棱锥的9強球的球心•如图5,三棱锥4-祸耳的外则R爭.二是如果三瞬的三条吨相垂

8、时时等.咖补形接球的球心和正右悴ABCD-^B^D,刖外接球的球心重合•设加1=s为一个长方体,它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球,般牛^士柑林和的陆蹴长).在正三棱锥SABC中,M、N分别是棱SC、BC的中点,且AMMN,若侧棱SA23,则三械锥C外捋球的表面积是_.解’如图乩正三棱锥对棱相互垂直艾即上□丄又能“MN,..丄卫匚又丄桃十ZW丄平面民4C于是朋丄平面谢;…筋丄谢,筋丄EC;从而站丄EU此时正三棱链E-丄月匕的三条测棱互相垂直芥且相琵故将正三棱锥补形为正方体.球的半径2.3球与正棱锥球与正棱锥的组合,常见的有两类,一是球为三棱锥的外接球,此时三棱

9、锥的各个顶

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