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1、用射影面积法求二面角在高考中的妙用广西南宁外国语学校隆光诚(邮政编码530007)立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，在每年全国各省市的高考试题的大题中几乎都出现•求二面角的方法很多，但是，对无棱二面角，或者不容易作出二面角的平面角时，如何求这个二面角的大小呢？用射影面积法是解决这类问题的捷径，本文以近年高考题为例说明这个方法在解题中的妙用，以飨读者！AD.定理已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为s'，平I和平面所成的二面角的大小为，则cosS.S本文仅对多边形为三角形为例证明，其它情形
2、请读者自证.证明：如图，平面内的△ABC在平面的射影aa'AD在又ADa'd于A，D，内的射影为A'D.BC,BC，BC(三垂线定理的逆定理).—BC-的平面角.ADA'为二面角设厶ABC^n^A'BC的面积分别为S和S'，ADA1SBC2AD,S，则cosA'DAD1'-BCAD.21'-BCAD'2S1s-BCADS2典题妙解下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1如图，已知正方体ABC—ABGD中，E是AA棱的中点，贝U面BEC与面AC所成的二面角的大小为()1厂：2245arctan-arctan—arccos-解：连结AC，则厶EBC
3、1在面AC内的射影是△243A矿E乍C冃△DC1AB1C设它们的面积分别为S和S'，所成的二面角为.设正方体的棱长为2,贝UAB=BC=2BE.5,BC122,EC1.(^2)22arccos—.3故答案选D.例2(04北京)如图,已知四棱锥S—ABCD勺底面是边长为1的正方形，(1)求证:BC丄SC;⑵求面ASD与面BSC所成的二面角的大小；M(3)设棱SA的中点为M,求异面直线DM与SB所成的角的大小.(1)证明：SDL面AC，123.BDCDC1ABSC在面AC内的射影是SD.又四边形ABCD是正方形，BC面AC,BC丄SC(三垂线定理).(2)解：
4、SDL面AC,CD面AC,SDCD.又四边形ABCD!正方形，ADCD.而ADSDD,CD!面ASD.又AB//CDBAL面ASD.△SBC在面SAD的射影是△SAD设它们的面积分别为S和S',所成的二面角为SCB90,BC1,SB31.2S-BCSC,S221-AD2SCSD...SB2BC21,cos2所以面ASD与面BSC所成的二面角的大小为(3)解：取AB的中点E,连结DEAMMS,AEEB,ME//SB.异面直线DM与SB所成的角就是ME-SB3,DEAD222AE2ME.SA..AD2SD2、2MD2saDME,..52.DME2,SD故222
5、2MDMEDEcosMDME0.故所以异面直线与SB所成的角的大小为-解法二：BA面SADSB在面SAD内的射影是SA.又ADSD1,AMMS,DMSA.EDACB-EMCBO而DM面SADDMSB（三垂线定理）.所以异面直线DM与SB所成的角的大小为？.例3（04浙江）如图,已知正方形ABC丙矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=2,AF=1,M是线段EF的中点.（1）求证：AIM/平面BDE⑵求证：面AE!平面BDF（3）求二面角A—DF-B的大小.证明：（1）设ACBDO,则AO丄AC,连结OE.21四边形ACEF是矩形,EMEF,2EMAO,EM/
6、/AO.四边形AOEh是平行四边形,从而AM//EO.又EO平面BDEAM//平面BDE.(2)四边形ABCD!正方形,BDAC.又正方形ABC丙矩形ACEF所在的平面互相垂直，ECAC，面BD面AE=ACEC面BD，从而ECBD.而ACECC,BD面AE.BD平面BDF面AE±平面BDF.(3)解:BAAD,BAAF,ADAFA,BA面ADF△BDF在面ADF上的射影是厶ADF设它们的面积分别为S和S'，所成的二面角为AB=2，AF=1,AD、、2,BD2,FBFD3.连结FO,则FOBD,FO.FB2BO2.2.故3所以二面角A—DF-B的大小为—.3
7、例4(08天津)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3AD=2PA=2,PD2屈，PAB60.(1)证明：ADL平面PAB(2)求异面直线PC与AD所成的角的大小；(3)求二面角P-BD-A的大小.(1)证明：ADPA2,PD2.2,AD2PA2PD2.PAD90，即DAPA.又四边形ABCD1正方形，DAAB.而ABPAA，ABPA面PABMCBOPADAD丄平面PAB.(2)AD//BC，异面直线PC与AD所成的角就是PC与BC所成的角,在厶PAB中，AB=3PA=2PD2、2,PAB60,PB2PA2AB22PAAB7,PB.
8、7.由(1)得，ADL平面PAB.CBPB，即CBP90.又BC=
