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1、1、在Rt△ABC中，斜边c等于Rt△ABC外接圆的直径2R,故有sina2R,sinbsinc这一关系对任意三角形也成立吗？探索并证明你的结论。答案：正弦定理的证明方法很多，下面列举几种方法供同学们参考。（为了方便起见，下面仅以锐角三角形为例，其余三角形可以类比得之）方法一、外接圆圆周角法证明：如图1，作△ABC的外接圆，圆心为0,半径为R。连接C0并延长交外接圆于D,连接△DAC为直角三角形。在Rt△DAC中，外接圆AD,贝UCD=2R,sinD=CD=.因为/CDA=/ABC,所以sinB=sinD=島.同理可证在△ABC中有:si
2、nC=磊,sinA=磊.即证C2Rsinasibsicn方法二、作高法证明：在锐角三角形中，如图2,设BC=a,CA=b,AB=c.A作AD丄BC,垂足为D.在Rt△ABDAD=ABsinB=csinB.在Rt△中,sinC=AC,ad=ac-sinC=b•sinC.所以c•sinB=b-sinC,bsinbacsincb.同理,在厶ABC中，」—sinasineADC。即证sinb=2Rsincsina方法三、三角形等面积法证明：在如图3，在△ABC中，作Rt△sinB=ADAB,AD=AB•sinB,1「S、ABC=2bcsabsin
3、C=bcsinA=acsinB.在abcAD丄BC,垂足为点D.由已知得，ABD中11S、abc=2a*AD=2acsinB.同理1iA，S、ABC=2absinC，所以等式两端同除以abc可得，sinasinbsinc方法四、向量法证明：如图4,过点A作j_AC.由向量的可得AB二ACCB,则j・AB=j*(ACCB)jACj*CBcos(90-A)=0j
4、
5、cBcos(90-C),所以有BcsinA=asinC,即.同理，过点C作j_BC，可得sinasincbsinb—.从而sinc若abc有sinasinbsinc方法五、外接圆圆
6、心角法证明：如图5,作厶ABC的外接圆，圆心为O,外接圆半径为R，取线段AB的中点D,连接OD,丄AB且0D平分/AOB.在Rt△ODA则OD中，AO=ADsin.AOD-ABR=—2sin_AODsin_AODAOB所以/AOB=NAOD而/AOB=NACB所以/AOD=ABABc/ACB.2R===.同理sinNAODsin/ACBsinC可证，2r=—b—,2r=—a—.即证一a—=―—sinBsinAsinasinb方法六、向量坐标法证明：如图6,建立如图所示的直接坐标系，则A(0,0),B(c,0).又由任意角三角函数的定义可得
7、C(bcosA,bsinA).以AB、BC为邻边作平行四边形ABCD，则NBAD=兀—NB.所以D(acos(n-B),Dasin(n—B))即D(—acosB,asinB).根据向量的运算得：AB,2R=—AB一。又因为OD平分/csincyfAC=(-acosB,asinB);BC二AC-AB二(bcosA-c,bsinA),ocB—Ja由AD=BC得asinB=bsinA，即sinaa同理可得一Pcsinbsincsina2、他先在纸上画了一个正方形表格。所以bsinbbcsinbsinc表格中横行与纵列的数据是完全一样的47101
8、316192225712172227323742101724313845525913223140495867761627384960718293钱德拉的筛子奥妙在于N出现在表中如果某个自然数那么2N+1肯定不是质数而如果N在表中不出现那么2N+1肯定是质数（1）这个正方形筛子”的每一行有什么特点？每一列呢?(2)正方形筛子”中位于第100行的第100个数是什么？注：1934年，一个来自东印度(现在的孟加拉国)的普通学者一一钱德拉，在数论领域中取得了一个辉煌成就，这个成就使他青史留名，永垂不朽.钱德拉的结果浅近易懂，甚至连小学生也能完全理解
9、.表格中横行与纵列的地位是完全一样的•在数学上，称为对称矩阵”.答案：(1)这个正方形筛子”的每一行与每一列分别都是等差数列。(2)因为第100行的第一个数a1001是第一列的第100个数，而第一列的数组成以4为首项，3为公差的等差数列，通项公式为an1=4+(n—1)況3=3n+1,故a1QD1=301;第100行的第2个数。是第2列的第100个数，而第2列的数组成以7为首项，5为公差100,2的等差数列，通项公式为an,2=7+(n—1)x5=5n+2，故a100,2=5O2，所以，第100行组成以301为首项，502—301=201
10、为公差的等差数列，通项公式为a100，n=301(n-1)201=201n100,从而第100行的第100个数为a100,100-201100100=20200.拓展：其中：4、12、24、4
