中考数学考点讲解：菱形.doc

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1、第2课时　菱形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点1　菱形的定义及性质1．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是(C)A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．邻边互相垂直2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中不一定成立的是(B)A．AB∥DCB．AC＝BDC．AC⊥BDD．OA＝OC第2题图第3题图3．如图，菱形ABCD的周长是8cm，AB的长是2cm.4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD.求证：四边形AODE是矩形．证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.∴∠AOD＝90°.又∵DE∥AC

2、，AE∥BD，∴四边形AODE是矩形．知识点2　菱形的判定5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件：答案不唯一，如：AC⊥BD，使得该平行四边形为菱形．6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.求证：(1)△AEF≌△DEB；(2)四边形ADCF是菱形．证明：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE.∵E是AD的中点，∴AE＝DE.又∵∠AEF＝∠DEB，∴△AEF≌△DEB(AAS)．(2)∵△AEF≌△DEB，∴AF＝DB.∵D是BC的中点，∴DC＝DB.∴AF＝DC.∵AF∥

3、DC，∴四边形ADCF是平行四边形．∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝CD.∴平行四边形ADCF是菱形．知识点3　菱形的面积7．如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝8和BD＝6，那么，菱形ABCD的面积为24.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　重难点　菱形的性质与判定　(2017·湖北)如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若∠ADB＝30°，BD＝6，求AD的长．【思路点拨】　(1)由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD＝∠ADB

4、，证出AB＝AD，同理：AB＝BC，得出AD＝BC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论；(2)由菱形的性质得出AC⊥BD，OD＝OB＝BD＝3，再由三角函数即可得出AD的长．【自主解答】　(1)证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠CBD.又∵BD平分∠ABF，∴∠ABD＝∠CBD.∴∠ABD＝∠ADB.∴AB＝AD.同理：AB＝BC，∴AD＝BC.又AE∥BF，即AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．(2)∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，∴AC⊥BD，OD＝OB＝BD＝3.∵∠ADB＝30°，∴cos∠ADB＝＝.∴AD＝＝2.【变

5、式训练】　如图，在▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC，交BC延长线于点F.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若∠ABC＝45°，BC＝2，求EF的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD.∴∠ADB＝∠CBD.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∴∠ADB＝∠ABD.∴AB＝AD.∴四边形ABCD是菱形．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝BC＝2.∵AB∥CD，AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∠ECF＝∠ABC＝45°.∴AB＝DE＝2.∴CE＝

6、CD＋DE＝4.∵EF⊥BC，∠ECF＝45°，∴△CEF是等腰直角三角形．∴EF＝CF＝CE＝2.,1．判定菱形的基本思路：(1)若已知一组邻边相等，则需要证该四边形是平行四边形或四条边都相等；(2)若对角线互相垂直，则需要证明该四边形是平行四边形；(3)若已知四边形是平行四边形，则需要证明一组邻边相等或对角线互相垂直．2．应用菱形性质计算的一般思路：菱形对边平行、对角相等、四边相等，所以在做题时，可利用等量代换来转换为其他边的长；它的对角线相互垂直，故常借助对角线垂直和勾股定理来求线段的长．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．(2017·益阳)下列性质中菱形不一定具有的性质是

7、(C)A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形2．(2017·长沙)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为(D)A．5cmB．10cmC．14cmD．20cm第2题图第4题图3．(2017·南充)已知菱形的周长为4，两条对角线的和为6，则菱形的面积为(D)A．2B.C．3D．44．(2017·河北)求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形ABCD是菱