中考数学考点讲解：矩形.doc

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1、第21讲　特殊的平行四边形第1课时　矩形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点1　矩形的定义及性质1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是(D)A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OBD．OA＝AD第1题图第2题图2．如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若∠AOD＝120°，AB＝6，则AC等于(C)A．8B．10C．12D．183．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝AO，求∠ABD的度数．解：∵四边形ABCD为矩形，∴AO＝BO.又∵AB＝AO，∴AB＝AO＝BO.∴△ABO为等边三角形．

2、∴∠ABD＝60°.知识点2　矩形的判定4．如图，在▱ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB.请你添加一个条件答案不唯一，如：CD＝BE，使四边形DBCE是矩形．5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB.求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵OA＝OB，∴OA＝OB＝OD＝OC.∴BD＝AC.∴四边形ABCD是矩形．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　重难点　矩形的性质与判定　如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE

3、，连接AF，DE，DF.(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长．【思路点拨】　(1)先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF＝90°即可；(2)利用勾股定理逆定理证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．【自主解答】　(1)证明：∵CF＝BE，∴CF＋EC＝BE＋EC，即EF＝BC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC且AD＝BC.∴AD∥EF且AD＝EF.∴四边形AEFD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°.∴四边形AEFD是矩形．(2)∵四边形AEFD是矩形，DE＝8，∴

4、AF＝DE＝8.∵AB＝6，BF＝10，∴AB2＋AF2＝62＋82＝100＝BF2.∴∠BAF＝90°.∵AE⊥BF，∴S△ABF＝AB·AF＝BF·AE.∴AE＝＝＝.【变式训练】　如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若AB＝2，求△OEC的面积．解：(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ABC＋∠BAD＝180°.∵∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°.∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°.∴四边形ABCD是矩形．(2)作OF

5、⊥BC于F.∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD.∴AO＝BO＝CO＝DO.∴BF＝FC.∴OF为△BCD的中位线．∴OF＝CD＝1.∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，∴∠EDC＝45°.∴EC＝CD＝2，∴S△OEC＝EC·OF＝1.,1．判定矩形的基本思路：(1)若已知一个直角，则可以证该四边形是平行四边形或其他角中有两个是直角；(2)若对角线相等，则可以证该四边形是平行四边形；(3)若已知四边形是平行四边形，则需要证明一个内角是直角或对角线相等．Ｋ2．应用矩形性质计算的一般思路：根据矩形的四个

6、角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角三角形，用勾股定理或三角函数求线段的长度是常用的思路，又可根据矩形对角线相等且互相平分求解，故可借助对角线的关系得到全等三角形，矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，在矩形性质相关的计算和证明题中要注意这个结论的运用，建立能够得到线段或角的等量关系.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．(2017·兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝(B)A．5B．4C．3.5D．3第1题图第2题图2．(2017·山西)如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′

7、D与AB交于点E.若∠1＝35°，则∠2的度数为(A)A．20°B．30°C．35°D．55°3．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在AD上，且BE平分∠AEC，则△ABE的面积为(D)A．2.4B．2C．1.8D．1.5第3题图第4题图4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则EF＝2.5cm.5．如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说

8、出其中的数学原理对角线相等的平行四边形