薄板理论分析.ppt

《薄板理论分析.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三章薄板理论9/4/20211第一节薄板的基本概念及基本假定平板是以两个平面为界，且两平面之间的距离远较其它尺寸为小的物体，此两平面之间的距离为平板的厚度S，与两平面等距离的中间面叫做平板的中面，参考坐标系位于中面内。9/4/202129/4/20213研究平板时，常把平板分为薄板与厚板。所谓薄板是指板的厚度S与板面最小尺寸之比相当小的平板，其定义范围一般为0.010.2以区别于薄膜与厚板。平板的形式很多,有方形、矩形、圆形、椭圆形等多种。对于圆形薄板，其定义范围是指板的厚度与其直径之比在上述范围之内，即0.010.29/4/20214（1）中性面假设：板弯曲时，中面保持中性，

2、即板中面内各点只有垂直位移w，无平行于中面的位移，即，。（2）直法线假设：弯曲变形前垂直于薄板中面的直线，变形后仍为直线，且长度不变，仍垂直于弹性曲面。由此可知，板中面内任何点处的剪应变、应等于零。（3）不挤压假设：薄板各层纤维在变形前后均互不挤压，即垂直于板面的应力分量和应变分量略去不计。上述假定统称为克希霍夫（Kirchhoff）假定。弹性薄板小挠度理论的基本假设9/4/20215第二节圆板的轴对称问题在化工设备中，应用最多的是受轴对称载荷的圆形薄板，简称圆板。圆板的轴对称问题，采用圆柱坐标系（、、）。qqqx9/4/20216为了求得圆板在q(r)作用下的各内力素，用相距d的两个圆

3、柱面，夹角为d的两个径向平面，沿板厚截取一微小六面体abcd。－作用在圆柱面沿中面单位长度上的径向弯矩；－作用在径向平面沿中面单位长度上的周向弯矩；－作用在圆柱面沿中面单位长度上的横向剪力。9/4/20217（一）平衡方程由微元六面体的空间力系，根据平衡条件，可列出六个平衡方程，其中自然满足，只能得到下列两个平衡方程,9/4/20218qqqx9/4/20219qqx9/4/202110沿z轴方向力的平衡方程展开合并，略去高阶微量，得即（3-1）沿x轴方向力矩的平衡方程因为d是个小角度，，略去高阶微量，即（3-2）9/4/202111（二）几何方程圆板受轴对称横向载荷后，其基本变形特点呈

4、双向弯曲，即径向弯曲和周向弯曲，中面弯曲成以对称轴为旋转轴的回转曲面，仍保持中性。（a）圆板中面的变形（b）（a）中部放大图图3-3受轴对称载荷圆板的几何变形9/4/2021121．中面变形根据基本假设（1），变形后，中面成回转曲面且仍保持中性，中面的径向应变和周向应变为零，即9/4/2021132．离中面距离为z处的变形根据基本假设（2），变形前过m、n两点的1-1和2-2平面均垂直于中性面，变形后为1-1和2-2，仍保持平面且垂直于中面，只是分别转过了角度和。这里有两个方向的变形：（1）径向变形变形前m、n两点间距离即微线段长度mn为dr，变形后微线段mn变为mn=则离中

5、面距离为z处的径向应变为（b）9/4/2021142）周向(环向)变形变形前过m点的圆周，其周长为2，变形后此圆周为过m点的圆周，其周长为2，则离中面距离为处的周向(环向)应变为（c）将式（a）代入式（b），（c），得（3-3）9/4/202115几何方程：9/4/202116（三）物理方程根据基本假设（3），，圆板上任意一点均处于二向应力状态。在平面应力状态下，由广义虎克定律，圆板轴对称问题的物理方程为或(3-4)式中，为圆板材料的弹性模量和泊松比。几何方程：9/4/202117板内二向应力，均为的函数，且沿板厚线性分布。在中性面z=0处，==0；在板的上、下表面=处，两向应力分别达

6、到最大值，其应力为（3-5）9/4/202118（四）圆板轴对称弯曲的挠度微分方程微元体由取径向平面上中面线段ab，cd及同心圆柱面上中面线段ac，bd均为单位长度。9/4/202119在ac面上作用径向应力，离中性面为处取微小条d，其上作用的力为，所引起的力矩在ac面上作用的总力矩为（f）9/4/202120在cd面上作用环向应力，离中性面为处的微小条dz上作用的力为，所引起的力矩,为在cd面上作用的总力矩为9/4/202121（3-4）代入式（f），（g），并积分得（3-6）式中为板的抗弯刚度。比较式（3-４）与式（3-6），可得(3-7-a）9/4/202122如图3-5所示板内应

7、力分布，沿板厚应力分量的最大值发生在上、下板面（）处，其值为（3-7-b）图3-5应力分布图9/4/202123上式可改写为直接积分形式：（3-８）将平衡方程式（3-1）代入上式，得（3-9）或（3-10）上式为圆板轴对称弯曲的挠度微分方程.9/4/2021249/4/202125圆板轴对称弯曲的小挠度微分方程9/4/202126求解圆平板弯曲应力的基本步骤外载荷P剪切内力Qr圆平板轴对称弯曲微分方程弯曲内力Mr、Mθ弯曲应力σr、