2021_2022学年新教材高中数学课时素养评价八第一章空间向量与立体几何1.4.2用空间向量研究距离夹角问题含解析新人教A版选择性必修第一册.doc

《2021_2022学年新教材高中数学课时素养评价八第一章空间向量与立体几何1.4.2用空间向量研究距离夹角问题含解析新人教A版选择性必修第一册.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、优选八　用空间向量研究距离、夹角问题【基础通关-水平一】(15分钟　30分)1．已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为(　　)A．B．1C．D．2【解析】选A.因为A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，所以＝(1，0，0)，＝(－1，2，－2)，所以点A到直线BC的距离为d＝＝＝1×＝.2．若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为，AB＝1，则直线AB1与CD1所成的角为(　　)A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】选C.因为正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为，AB＝1，所以AA1＝，以D为原点，D

2、A为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B1(1，1，)，C(0，1，0)，D1(0，0，)，＝(0，1，)，＝(0，－1，)，设直线AB1与CD1所成的角为θ，-19-/19优选则cosθ＝＝＝，又0°<θ≤90°，所以θ＝60°，所以直线AB1与CD1所成的角为60°.3．已知平面α的一个法向量n＝，A∈α，P∉α，且＝，则直线PA与平面α所成的角为________．【解析】设直线PA与平面α所成的角为θ，则sinθ＝＝＝＝，所以直线PA与平面α所成的角为.答案：4．棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B

3、1C1的中点，则直线MN到平面ACD1的距离为________．【解析】如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则D(0，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，M，A(1，0，0).-19-/19优选所以＝，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1).设平面ACD1的法向量为n＝，则即令x＝1，则y＝z＝1，所以n＝(1，1，1).所以点M到平面ACD1的距离d＝＝.又，故MN∥平面ACD1.故直线MN到平面ACD1的距离为.答案：5．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝4

4、5°，PA＝AD＝2，AC＝1.(1)证明：PC⊥AD；(2)求二面角APCD的正弦值．【解析】如图，-19-/19优选以点A为坐标原点，AD，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，D(2，0，0)，C(0，1，0)，B，P(0，0，2).(1)易得＝(0，1，－2)，＝(2，0，0)，则·＝0，所以PC⊥AD.(2)易得＝(0，1，－2)，＝(2，－1，0).设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z).由得令z＝1，可得n＝(1，2，1).又＝(2，0，0)是平面PAC的一个法向量，所以cos〈，n〉＝＝，从而sin〈，n〉＝.所以二

5、面角APCD的正弦值为.【能力进阶—水平一】(30分钟　60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1．Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是(　　)A．3B．9C．12D.2【解析】选A.以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．-19-/19优选则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P，所以＝(－4，3，0)，＝.所以点P到AB的距离d＝＝＝3.2．如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，

6、BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是(　　)A.B．C．D．【解析】选C.如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz.由于AB＝BC＝AA1，不妨取AB＝2，则B(0，0，0)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，C1(2，0，2).-19-/19优选所以＝(0，－1，1)，＝(2，0，2)，所以cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线EF和BC1的夹角为.3．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)A.B．C．D．【解析】选D.如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2

7、，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，所以＝(－2，0，1).连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D，所以平面BB1D1D的一个法向量为a＝＝(－2，2，0).所以所求角的正弦值为

8、cos〈a，〉

9、＝＝＝.4．已知四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，BC＝BD＝，AB与平面ACD所成角的正切值为，则点B到平面ACD的距离为(　　)-19-/19优选A．B．C．D．【解析】选D.以B为原点，BC，BD，BA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．设BA＝t(t>0)，B，C，D，A.