同步优化设计2021年高中数学第三章空间向量与立体几何测评含解析北师大版选择性必修第一册.docx

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1、考试第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知平面α和平面β的法向量分别为m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),则()A.α⊥βB.α∥βC.α与β相交但不垂直D.以上都不对答案B解析∵n=(-6,-2,10),m=(3,1,-5),∴n=-2m.∴m∥n.∴α与β平行.2.如图,已知空间四边形OABC,M,N分别是OA,BC的中点,且OA=a,OB=b,OC=c,用a,b,c表示向量MN为()24/24考试A.12a+12b+12cB.12a-12b+12cC.-12a

2、+12b+12cD.-12a+12b-12c答案C解析如图所示,连接ON,AN,则ON=12(OB+OC)=12(b+c),所以MN=ON-12OA=-12a+12b+12c.3.已知正四面体ABCD的棱长为a,点E,F分别是BC,AD的中点,则AE·AF的值为()A.a2B.14a2C.12a2D.34a2答案B解析在正四面体ABCD中,E,F分别是BC,AD的中点,∴AE=AB+BE,AF=12AD.则AE·AF=(AB+BE)·12AD=12AB·AD+12BE·AD.因为是正四面体,所以BE⊥AD,∠BAD=π3,即BE·AD=0,AB·AD=

3、AB

4、

5、AD

6、cosπ3=a22,2

7、4/24考试所以AE·AF=a24,故选B.4.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),

8、c

9、=14,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°答案C解析设向量a+b与c的夹角为α,因为a+b=(-1,-2,-3),所以

10、a+b

11、=14,cosα=(a+b)·c

12、a+b

13、

14、c

15、=12,所以α=60°.因为向量a+b与a的方向相反,所以a与c的夹角为120°.5.若正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D是A1C1的中点,则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为()A.45B.35C.34D.55答案A解析取AC的中点O为坐标

16、原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.24/24考试设三棱柱的棱长为2,则A(0,-1,0),D(0,0,2),C(0,1,0),B1(3,0,2),∴AD=(0,1,2),CD=(0,-1,2),CB1=(3,-1,2).设n=(x,y,z)为平面B1CD的一个法向量,由n·CD=0,n·CB1=0,得-y+2z=0,3x-y+2z=0,故x=0,y=2z,令z=1,得n=(0,2,1).设直线AD与平面B1DC所成角为α,则sinα=

17、cos

18、=

19、AD·n

20、

21、AD

22、

23、n

24、=45×5=45,所以直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为45.故选A.6.如图,ABCD-A

25、1B1C1D1是棱长为6的正方体,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF.当A1,E,F,C1四点共面时,平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的平面角的余弦值为()A.32B.12C.15D.26524/24考试答案B解析以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A1(6,0,6),E(6,3,0),F(3,6,0).设平面A1DE的法向量为n1=(a,b,c),依题意得n1·DE=6a+3b=0,n1·DA1=6a+6c=0,令a=-1,则c=1,b=2,所以n1=(-1,2,1).同理得平面C1DF的一个法向量为n2=(2,-1,1),

26、由题图知,平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的平面角的余弦值为

27、n1·n2

28、

29、n1

30、

31、n2

32、=12.7.已知OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当QA·QB取得最小值时,点Q的坐标为()A.12,34,13B.12,32,34C.43,43,83D.43,43,73答案C解析∵Q在直线OP上,∴可设Q(x,x,2x),则QA=(1-x,2-x,3-2x),QB=(2-x,1-x,2-2x).∴QA·QB=6x2-16x+10,∴当x=43时,QA·QB最小,这时Q43,43,83.8.在三棱锥P-ABC中,PC⊥底面ABC,∠BAC

33、=90°,AB=AC=4,∠PBC=60°,则点C到平面PAB的距离是()24/24考试A.3427B.4427C.5427D.6427答案B解析∵在三棱锥P-ABC中,PC⊥底面ABC,∠BAC=90°,AB=AC=4,∠PBC=60°,∴以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,过A作平面ABC的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,则C(0,4,0),P(0,4,46),A(0,0,0),B(4,0,0),AC

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