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《高中数学必备考试技能提高原创精品专题14 圆锥曲线中的一类定点问题（解析版）.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、结论十四：圆锥曲线中的一类定点问题结论若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.(1)对于椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点(a2-b2)aa2+b2,0.同理,当以AB为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线lAB过定点-(a2-b2)aa2+b2,0.(2)对于双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点(a2+b2)aa2
2、-b2,0.同理,对于左顶点(-a,0),则定点为-(a2+b2)aa2-b2,0.(3)对于抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若OA·OB=0,则弦AB所在直线过点(2p,0).同理,抛物线x2=2py(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若OA⊥OB,则直线AB过定点(0,2p).解读圆锥曲线中的定值问题一直是近几年来高考试题中的热点问题。解决这类问题时，要善于在动点的“变”中寻求定值或定点的“不变”性，常用特殊值法先确定定点，再转化为有目标的一般性证明，从而达到解决问题的方法。典例3．《九章算术》是我国古代内容极
3、为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”，设直线交抛物线于，两点，若，恰好是的“勾”“股”（为坐标原点），则此直线恒过定点（）A．B．C．D．解析【答案】D【详解】设直线的方程为，，，由得，由根与系数的关系可得：，，若，恰好是的“勾”“股”（为坐标原点），可得，所以，即，所以，，所以，即，解得或（舍）所以直线的方程为，恒过点，8/8反思由题意知，所以，即，设直线的方程为，，，联立直线与抛物线的方程由韦达定理得出，，代入化简得直线的方程即
4、可求出所过的定点.本题的关键点是由，恰好是的“勾”“股”（为坐标原点），得出，设直线的方程为，，。即，联立方程，结合韦达定理即可求解.针对训练*举一反三1．已知抛物线，过点引抛物线的两条弦、，分别交抛物线于两点，且，则直线恒过定点坐标为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】设，，由可得：，化简可得：，直线斜率为，所以，即，，令可得，所以直线直线恒过定点，2．定义：若点在椭圆上，则以为切点的切线方程为：.已知椭圆，点为直线上一个动点，过点作椭圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点（）8/8A．B．C．D．【答案】C【详解】因为点在直
5、线上，设，，，所以的方程为，又在上，所以①，同理可得②；由①②可得的方程为，即，即，所以，解得，故直线恒过定点3．已知点在抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则直线一定过点（）A．B．12,0C．D．【答案】A【详解】当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不符合题意，所以直线的斜率不为0，设其方程为，因为点在抛物线上，所以设，所以，解得或．又因为两点位于轴的两侧，所以．联立得，所以，即，所以直线的方程为，所以直线一定过点．4．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，则点的坐标
6、为（）A．B．8/8C．D．【答案】C【详解】由题意，如图所示，设直线，，，，联立，得，，，，，直线的方程为，设直线与轴相交于点，，得．点在抛物线上，，即，，点5．已知双曲线，点，在双曲线上任取两点、满足，则直线恒过定点__________；【答案】【解析】设的方程为,则由.设,则是该方程的两根,∴,.8/8又,,故，∴,又,,∴,代入,得：整理得：,∴,∴或.当时,过与题意不符,故舍去。当时,过定点.故答案为：6．已知抛物线的焦点为，是上一点，且，设点是上异于点的一点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交于点则直线过定点，定点坐标为__
7、________.【答案】【解析】由题意得，解得，所以，抛物线的标准方程为.设点、，设直线的方程为，联立，消去得，由韦达定理得，，由轴以及点在直线上，得，则由、、三点共线，得，整理得，将韦达定理代入上式并整理得，由点的任意性，得，得，所以，直线的方程为，即直线过定点.7．已知椭圆的离心率为，短轴长为4.（1）求椭圆的方程；8/8（2）过点作两条直线，分别交椭圆于两点（异于），当直线，的斜率之和为4时，直线恒过定点，求出定点的坐标.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）由题意知：，，.解得，，，所以椭圆方程为.（2）当直线的斜率存在时，
8、设直线方程为，，.由，得，联立，消去得，由题意知二次方程有两个不等实根，∴，.代入得，整理得.∵，∴，∴，，所以直线恒过定点.当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，，其中，∴.由，得，∴.∴当直线的斜率不
