高中数学必备考试技能提高原创精品专题13 圆锥曲线中的一类定值问题(原卷版).docx

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1、结论十三:圆锥曲线中的一类定值问题结论在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B满足直线PA与PB的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB的斜率为定值.图示条件结论已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在椭圆上,设A,B是椭圆上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0.直线AB的斜率kAB为定值b2x0a2y0.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a,b>0),定点P(x0,y0)(x0y

2、0≠0)在双曲线上,设A,B是双曲线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0.直线AB的斜率kAB为定值-b2x0a2y0.已知抛物线y2=2px(p>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0.直线AB的斜率kAB为定值-py0.解读圆锥曲线中的定值问题一直是近几年来高考试题中的热点问题,这类问题在解题之前不知道定值是多少,因而对解题增添了一定的难度。解决这类问题时

3、,要善于在动点的“变”中寻求定值或定点的“不变”性,再转化为有目标的一般性证明,从而解决问题。典例已知椭圆,圆,过椭圆上任一与顶点不重合的点引圆的两条切线,切点分别为,直线与轴,轴分别交于点,则(  )A.B.C.D.解析4/4反思【点睛】本题先设,则可得切线的方程,即可得到直线的方程,进而可求出点点的坐标,再结椭圆方程可求出的值,此题考查椭圆的标准方程,以及简单性质有应用,解题的关键是设点,再由已知条件得到直线的方程为,从而可得的坐标,进而可得答案,考查计算能力和转化能力,属于中档题针对训练*举一反三1.已知点

4、是抛物线的焦点,若点在抛物线上,且,斜率为的直线经过点,且与抛物线交于,(异于)两点,则直线与直线的斜率之积为()A.2B.-2C.D.2.已知,是双曲线的焦点,是过焦点的弦,且的倾斜角为,那么的值为A.16B.12C.8D.随变化而变化3.已知椭圆的左右顶点分别为,过轴上点作一直线与椭圆交于两点(异于),若直线和的交点为,记直线和的斜率分别为,则(  )A.B.3C.D.24.如图,已知抛物线的焦点为F,过点的直线交抛物线于AB两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M、N,记直线MN的斜率为,直线AB的斜率为,

5、则________.4/45.已知椭圆的离心率为,过点且斜率为的直线与椭圆交于两点,点关于原点的对称点为,设直线的斜率为,则的值为_________.6.已知椭圆的离心率,且与直线相切.(1)求椭圆的标准方程;(2)过椭圆上点作椭圆的弦,,若,的中点分别为,,若平行于,则,斜率之和是否为定值?7.已知、是双曲线的两个顶点,点是双曲线上异于、的一点,为坐标原点,射线交椭圆于点,设直线、、、的斜率分别为、、、.(1)若双曲线的渐近线方程是,且过点,求的方程;(2)在(1)的条件下,如果,求的面积;4/4(3)试问:是

6、否为定值?如果是,请求出此定值;如果不是,请说明理由.8.已知过点的直线交抛物线于两点,直线交轴于点.(1)设直线的斜率分别为,求的值;(2)点为抛物线上异于的任意一点,直线交直线于两点,,求抛物线的方程.9.设抛物线的焦点为,经过点的动直线交抛物线于点且.(1)求抛物线的方程;(2)若为坐标原点),且点在抛物线上,求直线斜率;(3)若点M是抛物线的准线上的一点,直线MF,MA,MB斜率分别为.求证:当为定值时,也为定值.4/4

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