北师大版必修一二高二数学下学期期末专项复习05 空间向量与立体几何（重点）解析版.doc

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1、专题05空间向量与立体几何（重点）一、单选题1．已知向量，且与互相垂直，则k的值是（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】由向量垂直得，结合向量的点坐标求出，即可求k的值.依题意得：，即，而，∴4k＋k－2－5＝0，解得.故选：D2．已知向量=(1，0，1)，=(0，1，1)，O为坐标原点，则三角形OAB的面积为（）A．B．C．1D．【答案】D【解析】利用向量的夹角公式可得，进而可求出，最后由三角形面积公式可得结果.∵，，∴，，，由于，所以，所以三角形OAB的面积为，故选:D.3．已知向量，若共面，则x等于（）A．B．1C．1或D．1或0【答案】A【解析】由共面，设，根据坐标运算列出方程求解即

2、可.因为共面，设所以解得：，即故选：A4．已知长方体，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．0B．C．D．【答案】B【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角；解：如图建立空间直角坐标系，则，，，所以，，设异面直线与所成的角为，则故选：B5．如图，已知正方体的棱长为4，E为棱的中点，点P在侧面上运动，当平面与平面，平面所成的角相等时，的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解.如图，建立空间直角坐标系，则,.设则易知平面和平面的一个法向量分别为.设平面的法向量为，则即取，可得所以为平面的一个法向量.由题意,平面与平面，平面所成的角

3、相等，所以.或在平面上，直线过点和的中点，在平面上，直线只过点，即点，取为的中点,连接，则点在上运动或点在点处，由等面积法可得的最小值为.故选：B.【点睛】对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.6．在下列结论中：①若向量共线，则向量所在的直线平行；②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；③若三个向量两两共面，则向量共面；④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得．其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】根据向量共线的概念、异面直线的概念及空间向量的基本定理逐一判断.平行向量

4、就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错．两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错.三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥中，两两共面，但它们不是共面向量，故③错．根据空间向量基本定理，需不共面才成立，故④错．故选:A．7．在三棱锥中，，，两两垂直，为棱上一动点，，.当与平面所成角最大时，与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】首先利用线面角的定义，可知当为的中点时，取得最小值，此时与平面所成角最大，再以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量坐标法求线面角的正弦值.，且，平面，易证平面，则与平面所成角为，，当取

5、得最小值时，取得最大值在等腰中，当为的中点时，取得最小值.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，则，，设平面的法向量为，则，即令，得.因为，所以与平面所成角的正弦值为.故选：C【点睛】关键点点睛：本题重点考查线面角，既考查了几何法求线面角，又考查向量法求线面角，本题关键是确定点的位置，首先利用线面角的定义确定点的位置，再利用向量法求线面角.8．平面过正方体的顶点，，点、分别为、的中点，，若平面，平面，则直线与直线所成角的正切值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】以为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，用向量法计算即可.不妨设AB=2,以为原点，为x轴，为y轴，

6、为z轴建立空间直角坐标系，则设平面EFG的一个法向量，则，不妨令x=1，则易知平面ABCD的一个法向量为，设直线m，n的方向向量分别为，因为平面，，所以不妨令=1，则同理可求设直线与直线所成角为，则所以故选：B【点睛】向量法解决立体几何问题的关键：(1)建立合适的坐标系；(2)把要用到的向量正确表示；(3)利用向量法证明或计算.二、多选题9．点P是棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的值可能是（）A．－3B．C．－2D．－1【答案】CD【解析】如图建系，可得点A、的坐标，设，可得的坐标，进而可得的表达式，根据x，y的范围，即可求得答案.如图建系：因为P在底

7、面A1B1C1D1内，所以设，又，所以，所以，因为，所以的最小值为-2，最大值为0，所以的值可能是-2，-1.故选：CD【点睛】解题的关键是在适当位置建系，根据题意，设出P点坐标，在根据坐标中x，y的范围求解，考查数形结合，计算求值的能力.10．在长方体中，､､分别为棱､､的中点，，，则正确的选项是（）A．异面直线与所成角的大小为60°B．异面直线与所成角的大小为90°C．点到平面的距离为D．点到