备战2021年高考数学解题方法专练10 数形结合思想（原卷版）.doc

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1、专题10数形结合思想【方法指导】1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：（1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种

2、直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．（2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．（3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．3．数形结合思想解决的问题常有以下几种：（1）构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；（2）构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；（3）构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；（4）构

3、建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；（5）构建立体几何模型研究代数问题；（6）构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；（7）构建方程模型，求根的个数；（8）研究图形的形状、位置关系、性质等．4．数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点（1）集合的运算及Venn图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线；（5）对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；（6）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点、顶点是关键点），做好知

4、识的迁移与综合运用．5．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解；（3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证【例题解读】【典例1】在直角坐

5、标平面内的两个不同点M，N满足条件：①M，N都在函数的图像上；②M，N关于原点时称．则称点对为函数的一对“友好点对”（注：点对与为同一“友好点对”）已知函数，此函数“友好点对”有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【典例2】已知函数的定义域为R，若关于x的方程有5个不同的根，则的值为（）A．B．16C．5D．15【典例3】已知为抛物线上一点，过抛物线的焦点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为（）A．B．C．D．【典例4】已知定义在上的奇函数在上单调递增，且满足，则关于的不等式的解集为（）．A．B．C．D．【专题训练】一、单选题1．下列命题中，真命题是（）A．，，使得B．(，)C

6、．函数有两个零点D．，是的充分不必要条件2．已知函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．3．已知，在上恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．4．若等腰直角三角形一条直角边所在直线的斜率为，则斜边所在直线的斜率为（）A．或2B．或3C．或4D．或55．已知圆经过原点，则圆上的点到直线距离的最大值为（）A．B．C．D．6．已知函数，，且在上单调.设函数，且的定义域为，则的所有零点之和等于（）A．B．C．D．二、多选题7．关于函数，下列说法正确的是（）A．当时，在处的切线方程为B．若函数在上恰有一个极值，则C．对任意，恒成立D．当时，在上恰有2个零点三、填空题

7、8．如图，在边长为的正方形中，，分别是边，上的两个动点，且，为的中点，，则的最大值是______．