备战2021年高考数学解题方法专练10 数形结合思想(解析版).doc

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1、专题10数形结合思想【方法指导】1.数形结合的数学思想:包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.2.运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个原则:(1)等价性原则.在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则解题将会出现漏洞.有时,由于图形的局限性,不能完整的表现数的一般性,这时

2、图形的性质只能是一种直观而浅显的说明,要注意其带来的负面效应.(2)双方性原则.既要进行几何直观分析,又要进行相应的代数抽象探求,仅对代数问题进行几何分析容易出错.(3)简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合.具体运用时,一要考虑是否可行和是否有利;二要选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系、做好转化;三要挖掘隐含条件,准确界定参变量的取值范围,特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线.3.数形结合思想解决的问题常有以下几种:(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围;(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围;(3)构建函数模型并结合

3、其图象研究量与量之间的大小关系;(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式;(5)构建立体几何模型研究代数问题;(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题;(7)构建方程模型,求根的个数;(8)研究图形的形状、位置关系、性质等.4.数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点(1)集合的运算及Venn图;(2)函数及其图象;(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象;(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线;(5)对于研究距离、角或面积的问题,可直接从几何图形入手进行求解即可;(6)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问

4、题,可通过函数的图象求解(函数的零点、顶点是关键点),做好知识的迁移与综合运用.5.数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效,这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练,以提高解题能力和速度.具体操作时,应注意以下几点:(1)准确画出函数图象,注意函数的定义域;(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图),然后作出两个函数的图象,由图求解;(3)在解答题中数形结合思想是探究解题的思路

5、时使用的,不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证【例题解读】【典例1】在直角坐标平面内的两个不同点M,N满足条件:①M,N都在函数的图像上;②M,N关于原点时称.则称点对为函数的一对“友好点对”(注:点对与为同一“友好点对”)已知函数,此函数“友好点对”有()A.0个B.1个C.2个D.3个【来源】【新东方】【2021.4.27】【宁波】【高一上】【高中数学】【00112】【答案】C【分析】根据题意,“友好点对”可知,要求解的“友好点对”,只需作出函数的图象关于原点对称的函数为,结合图象的交点个数,即可求解.【详解】由函数,当时,可得,则,则函数的图象关

6、于原点对称的函数为,由题意知,作出函数的图象及函数的图象,如图所示,由图象可得两个函数图象共有两个交点,即函数的“友好点对”有:2个.故选:C.【点睛】方法点拨:把函数的“友好点对”,转化为作出函数的图象关于原点对称的函数为与函数的图象的交点个数,结合图象的交点个数是解答的关键.【典例2】已知函数的定义域为R,若关于x的方程有5个不同的根,则的值为()A.B.16C.5D.15【来源】【新东方】【2021.4.27】【宁波】【高一上】【高中数学】【00109】【答案】D【分析】根据函数解析式画出图像,结合方程根的情况,判断函数交点情况,从而求得参数的值,进

7、而求得交点横坐标,从而解决问题.【详解】由函数解析式作出函数图像如下:由方程有5个不同的根知,必有一个解为1,即,则,则方程另一个解为,设则,故故选:D.【点睛】方法点睛:数形结合找到方程有5个不同根对应的交点情况,然后求得参数值.【典例3】已知为抛物线上一点,过抛物线的焦点作直线的垂线,垂足为,则的最小值为()A.B.C.D.【来源】普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷(四)【答案】D【分析】过点作与准线垂直并交准线于点,求出直线过定点,然后可得在以为直径的圆上,以为直径的圆上,的最小值为圆上的点到准线的距离的最小值,然后可求出答案.【详解】抛物线的焦

8、点,准线方程为,过点作与准线垂直并交准线于点.令直线为直线,变形可

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