北师大版必修一二高二数学下学期期末专项复习06 空间向量与立体几何（难点）解析版.doc

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1、专题06空间向量与立体几何（难点）一、单选题1．已知是长方体外接球的一条直径，点在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在长方体中建立空间直角坐标系，用向量法求解.根据题意，以D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图示.设长方体外接球球心为O，则DB1为外接球的一条直径，设O为DB1中点，不妨设M与D重合，N与B1重合.则外接球的直径长为，所以半径r=1；所以由P在长方体表面上运动，所以，即所以，即故选：B【点睛】向量法解

2、决立体几何问题的关键：(1)建立合适的坐标系；(2)把要用到的向量正确表示；(3)利用向量法证明或计算.2．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（）A．1B．C．2D．【答案】B【解析】把用表示出来，然后平方转化为数量积求模．∵，，∴，又，，∴．故选：B．【点睛】方法点睛：本题考查求向量的模，解题方法是用基底表示出向量，然后平方把模转化为数量积计算，本题在用基底表示向量时直接用向量的加法法则和数乘定义，如果结合减法可以更加容易理解，直接表示为：，再结合线性运算的结论分别基底去表示．3．在直

3、三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，点，分别是，的中点，点在平面上的射影是的重心，则点到平面的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，建立空间直角坐标系，首先设，利用，求，利用点到平面的距离为求解.如图所示，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，可得，，，，因为点在平面上的射影是的重心，所以平面，所以，即，解得，即，则点到平面的距离为.故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键是方法，利用空间直角坐标系解决问题，第二个关键是利用则点到平面的距离为.4．正方体的棱长为3，点E，

4、F分别在棱上，且，，下列几个命题：①异面直线与垂直；②过点B，E，F的平面截正方体，截面为等腰梯形；③三棱锥的体积为④过点作平面，使得，则平面截正方体所得的截面面积为．其中真命题的序号为（）A．①④B．①③④C．①②③D．①②③④【答案】B【解析】对于①：取的三等分点为，使，利用已知条件找到异面直线，所成的角，即可得出结果；对于②：取的三等分点为，使，利用已知条件得到四边形即为所求截面，即可得出结论；对于③：利用等体积法求解即可；对于④：取的三等分点为，使，取的三等分点为，使，猜想出面即为所求的截面，建立空间坐标证明推测

5、，代入数值即可求出结论．解：对于①：取的三等分点为，使，又，且，四边形为平行四边形，且，四边形为平行四边形，，则为异面直线，所成的角，连接，由题意得：，所以，故①正确；对于②：取的三等分点为，使，又，且，四边形为平行四边形，则且，又由①得：且，于是且，四边形为平行四边形，，取的中点为，连接，又，，则四边形即为所求截面，由题意知：，则②不正确；对于③：，又面，，所以，故③正确；对于④：取的三等分点为，使，取的三等分点为，使，，则面即为所求的截面，建立如图所示的空间坐标系，则，0，，，3，，，3，，，0，，，1，，，，，所以

6、面，由已知条件得：，等腰梯形的高为：，所以截面面积为：，故④正确．故选：．【点睛】本题主要考查异面直线所成角以及线线平行问题，还考查了等体积法求四棱锥的体积以及利用空间向量解决线面垂直问题；问题的关键是截面不容易找．5．在三棱锥中，面面，，，，是的中点.设，若，则二面角的余弦值的范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，先求组成二面角的两个半平面的法向量，再求两个法向量的夹角的余弦值范围即可.解：面面，面面，，面，所以面，，在平面作直线直线，则，以为坐标原点，建立如图所示的空

7、间直角坐标系，不妨设，则，在，，易求边上的高为，线段在上的投影长为，所以，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，令，则平面的一个法向量为，，，，设二面角的平面角为，，，显然是关于的减函数，时，，时，，故选：D.【点睛】考查用坐标向量法求二面角平面角余弦值的范围，运算量大，易出错，难题.6．已知三棱锥中，，且、、两两垂直，是三棱锥外接球面上一动点，则到平面的距离的最大值是A．B．C．D．【答案】C【解析】是棱长为1的正方体上具有公共顶点的三条棱,以为原点,分别为轴

8、，轴，轴，建立空间直角坐标系,三棱锥外接球就是正方体的外接球，由正方体及球的几何性质可得点与重合时，点到平面的距离最大，求出平面的法向量，由点到直线的距离公式即可得结果.三棱锥，满足两两垂直，且，如图是棱长为1的正方体上具有公共顶点的三条棱,以为原点,分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,则，，设平面的法向量，则，取