抛物线中两线段的和最小问题及差最大问题.doc

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1、-抛物线中两线段和最小问题（及差最大问题）（已整理A4）1.（20128分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最

2、大值．2.（2012黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C1:与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧.(1)若抛物线C1过点M(2，2)，数m的值．(2)在(1)的条件下，求△BCE的面积．(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标．(4)在第四象限，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．---总结.-3（201210分）如图，已知抛物线经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点．（1）求抛物

3、线的解析式及对称轴．（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标．（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4.（201214分）如图，抛物线l交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3）．将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1．（1）求l1的解析式；（2）在l1的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；（3）平行于x轴的一条直线交抛物线l1于E、F两点，若以EF为

4、直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．---总结.-1，（20128分）【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。（2）根据轴对称的性质和三角形三边关系作N点关于直线x=3的对称点N′，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小。（3）分BD为平行四边形对角线和BD为平行四边形边两种情况讨论。（4）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3），求得线段PQ=﹣x2+x+2。由图示以及三角形的面积公式知，由二次函数的最值的求法可知△APC的面积

5、的最大值解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，，解得。∴抛物线的函数关系式为。设直线AC的函数关系式为y=kx+n，由直线AC过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，解得。∴直线AC的函数关系式为y=x+1。（2）作N点关于直线x=3的对称点N′，令x=0，得y=3，即N（0，3）。∴N′（6，3）由得D（1，4）。设直线DN′的函数关系式为y=sx+t，则，解得。∴故直线DN′的函数关系式为。根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，∴。∴使MN+MD的值

6、最小时m的值为。（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），①当BD为平行四边形对角线时，由B、C、D、N的坐标知，四边形BCDN是平行四边形，此时，点E与点C重合，即E（2，3）。②当BD为平行四边形边时，∵点E在直线AC上，∴设E（x，x+1），则F（x，）。又∵BD=2∴若四边形BDEF或BDFE是平行四边形时，BD=EF。∴，即。若，解得，x=0或x=1（舍去），∴E（0，1）。若，解得，，∴E或E。综上，满足条件的点E为（2，3）、（0，1）、、。（4）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，

7、设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）。∴。∴。∵，∴当时，△APC的面积取得最大值，最大值为。---总结.-2，（2012黄冈14分）【分析】（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得m的值。（2）求出B、C、E点的坐标，从而求得△BCE的面积。（3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点B、C关于对称轴x=1对称，连接EC与对称轴的交点即为所求的H点。（4）分两种情况进行讨论：①当△BEC∽△BCF时，如图所示，此时可求得+2。②当△BEC∽△FCB时，如图所示，此时得到矛盾的等式，故此种情形不存在。解：

8、（1）∵抛物线C1过点M(2，2)，∴，解得m=4。（2）由（1）得。令x=0，得。∴E（0，2），OE=2。令y=0，得，解得x1=－2，x=4。∴B（－2，，0），C（4，0），BC=6。∴△BCE的面积=。（3）由