2020-2021年高一下学期期末备考专题13必考必刷解答题之立体几何（解析版）.docx

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1、2020-2021年高一下学期期末备考之金榜名题（人教A版）专题13必考必刷解答题之立体几何1．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC=π3，AB＝AA1＝AC＝2，M为AC中点．（1）证明：直线B1C∥平面A1BM；（2）求异面直线B1C与A1B所成角的余弦值．【解析】（1）证明：连接AB1，交A1B于点O，连接OM，则O为AB1的中点，∵M为AC的中点，∴OM∥B1C，又OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，∴直线B1C∥平面A1BM．（2）解：由（1）知，OM∥B1C，∴∠BOM或其补角为直线B1C与A1B所成角，∵AA1⊥平面ABC，B

2、M⊂平面ABC，∴AA1⊥BM，30/30∵等边△ABC，且M为AC的中点，∴BM⊥AC，又AA1∩AC＝A，AA1、AC⊂平面AA1C1C，∴BM⊥平面AA1C1C，∴BM⊥A1M，∴OM＝OB=12A1B=2，在△OBM中，BM=3，由余弦定理知，cos∠BOM=OM2+OB2−BM22OM⋅OB=2+2−32×2×2=14，故异面直线B1C与A1B所成角的余弦值为14．2．如图所示，底面正方形ABCD，直角梯形ADEF中，DE垂直平面ABCD，∠ADE＝90°，AF∥DE，DE＝DA＝2AF＝2．（1）求证：AC⊥平面BDE；（2）求证：AC∥平面BEF；（3）若A

3、C与BD相交于点O，求四面体BOEF的体积．【解析】（1）证明：∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DE⊥AC，∵ABCD为正方形，AC、BD为对角线，∴AC⊥BD，∵BD⊂面BDE，DE⊂面BDE，DE∩BD＝D，∴AC⊥平面BDE．（2）证明：取BE中点G，AC、BD交点为O，连接OG、FG，∵O、G分别为BD、BE的中点，30/30∴OG∥DE，OG=12DE，∵ADEF为直角梯形，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE，∵DE＝2AF，∴OG∥AF，OG＝AF，∴四边形AOGF为平行四边形，∴AC∥FG，∵AC⊄面BEF，FG⊂面BEF，∴AC∥平面BEF．（3

4、）∵面ABCD⊥面ADEF，AB⊥AD，∴AB⊥面ADEF，∵AF∥DE，∠ADE＝90°，DE＝DA＝2AF＝2，∴△DEF的面积为S△DEF=12×DE×AD=2，∴四面体BDEF的体积为V=13S△DEF×AB=13×2×2=43，又∵O是BD中点，∴VO−DEF=12VB﹣DEF，∴VBOEF=12VB−DEF=23．3．如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，OA＝2，∠AOP＝120°，三棱锥A1﹣APB的体积为833．（1）求圆柱OO1的表面积；（2）求异面直线A1B与OP所成角的余弦值．【解析】解：（1）由题意，在△AOP中，OA＝OP＝

5、2，∠AOP＝120°，所以AP＝23，30/30在△BOP中，OB＝OP＝2，∠BOP＝60°，所以BP＝2，因为三棱锥A1﹣APB的体积为833．所以VA1−APB=13×12×23×2×AA1=833，解得AA1＝4，故圆柱OO1的表面积为S表＝2π×22+2π×2×4＝24π．（2）取AA1中点Q，连接OQ，PQ，则OQ∥A1B，得∠POQ或它的补角为异面直线A1B与OP所成的角，又AP=23，AQ＝AO＝2，得OQ＝22，PQ＝4，由余弦定理得cos∠POQ=PO2+OQ2−PQ22×PO×OQ=−24，∴异面直线A1B与OP所成角的余弦值为24．4．三棱锥P﹣

6、ABC，PA＝4，BC＝6．（1）该棱锥的6条棱中，共有多少对异面直线？请一一列出；（2）若PB中点为M，AC中点为N，MN＝4，求异面直线PA与BC所成角的余弦值．【解析】解：（1）该棱锥的6条棱中，共有3对异面直线，分别是PA与BC，PB与AC，PC与AB．（2）如图，取AB中点O，连接OM，ON，因为PB中点为M，AC中点为N，所以OM∥PA，ON∥BC，所以异面直线PA与BC所成的角为∠MON或其补角，30/30PA＝4，BC＝6．所以OM＝2，ON＝3，又MN＝4，在△MON中，由余弦定理可得cos∠MON=OM2+ON2−MN22OM⋅ON=4+9−162×2

7、×3=−14，所以异面直线PA与BC所成角的余弦值为14．5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若PC⊥PA，PD＝AD，求证：PA⊥平面BDE．【解析】证明：（1）连接AC，交BD于点O，连接OE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵E为侧棱PA的中点，∴OE∥PC，∵PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴PC∥平面BDE．（2）∵E为AP中点，PD＝AD，∴PA⊥DE，∵PC⊥PA，OE∥PC，∴PA⊥OE，∵OE⊂平面BDE，DE⊂平