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时间:2021-06-19
《2021_2022学年新教材高中数学第五章计数原理5.4.1二项式定理的推导课后素养落实含解析北师大版选择性必修第一册.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、优选课后素养落实(三十五) 二项式定理的推导(建议用时:40分钟)一、选择题1.(x+2)8的展开式中x6的系数是( )A.28 B.56 C.112 D.224C[该二项展开式的通项为Tr+1=Cx8-r2r=2rCx8-r,令r=2,得T3=22Cx6=112x6,所以x6的系数是112.]2.若(1+)5=a+b(a,b为有理数),则a+b等于( )A.45 B.55 C.70 D.80C[由二项式定理,得(1+)5=1+C·+C·()2+C·()3+C·()4+C·()5=1+5+20+20+20+4=41+29.所以a
2、=41,b=29,a+b=70.故选C.]3.在的二项展开式中,x的系数为()A.10B.-10C.40D.-40D[∵Tr+1=C(2x2)5-r=(-1)rC25-rx10-3r,令10-3r=1即r=3,此时x的系数为(-1)3C22=-40.]4.设k=1,2,3,4,5,则(x+2)5的展开式中xk的系数不可能是()A.10B.40C.50D.80C[x1的系数为C·24=80,x2的系数为C·23=80,x3的系数为C·22=40,x4的系数为C·21=10,x5的系数为C·20=1,所以系数不可能为50.]5.(+)12的展开式中,含x的正整
3、数次幂的项共有()-4-/4优选A.4项 B.3项 C.2项 D.1项B[设第(r+1)项含x的正整数次幂,则Tr+1=C··=C·x,其中0≤r≤12.要使6-r为正整数,必须使r为6的倍数.所以r=0,6,12,即第1项、第7项,第13项为符合条件的项.]二、填空题6.(a+x)4的展开式中x3的系数等于8,则实数a=________.2[∵Tr+1=Ca4-rxr且x3的系数等于8,∴r=3,即Ca4-3=8,∴a=2.]7.的展开式中x3的系数为________.(用数字作答)20[设第r+1项为含x3的项,则Tr+1=Cx2(
4、6-r)x-r=Cx12-3r,令12-3r=3,得r=3,∴x3的系数为C=20.]8.在的展开式中,系数是有理数的项共有________项.4[Tr+1=C(x)20-r=·()20-r·C·x20-r.∵系数为有理数,∴()r与2均为有理数.∴r能被2整除,且20-r能被3整除.∴r为偶数,20-r是3的倍数,0≤r≤20,∴r=2,8,14,20.∴共有4项系数为有理数.]三、解答题9.求(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)20的展开式中x3的系数.-4-/4优选[解]所求x3的系数为:C+C+C+…+C=(C+C)+C+…+C=(C+C)+
5、C+…+C=…=C+C=C.所以展开式中x3的系数是C=5985.10.在的展开式中,求:(1)第3项的二项式系数及系数;(2)含x2的项.[解](1)第3项的二项式系数为C=15,又因为T3=C(2)4=24·Cx,所以第3项的系数为24C=240.(2)Tk+1=C(2)6-k=(-1)k26-kCx3-k,令3-k=2,得k=1.所以含x2的项为第2项,且T2=-192x2.11.二项式(1+)6的展开式中有理项系数之和为( )A.64 B.32 C.24 D.16B[二项式(1+)6的展开式的通项为Tr+1=Cx,令为整数,可得r=
6、0,2,4,6,故展开式中有理项系数之和为C+C+C+C=32,故选B.]12.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=( )A.-4 B.-3 C.-2 D.-1D[展开式中含x2的系数为C+aC=5,解得a=-1,故选D.]13.(多选题)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设a,b,m(m>0)为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a=-4-/4优选b(modm).若a=C+C·2+C·22+…+C·220,a=b(mod10),则b的值可以是( )A.2011
7、 B.2012 C.2020 D.2021AD[∵a=(1+2)20=320=910=(10-1)10=C1010-C109+…-C10+1,∴被10除得的余数为1,而2011与2021被10除得的余数是1,故选AD.]14.(一题两空)在二项式(+x)9的展开式中,常数项是________,系数为有理数的项的个数是________.165[由二项展开式的通项公式可知Tr+1=C·()9-r·xr,r∈N,0≤r≤9,当r=0时,第1项为常数项,所以常数项为T1=C·()9·x0=()9=16.当项的系数为有理数时,9-r为偶数,可得r=
8、1,3,5,7,9,即系数为有理数的项的个数为5.]15.(3-2
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