2021_2022学年新教材高中数学第二章圆锥曲线2.2.2双曲线的简单几何性质课后素养落实含解析北师大版选择性必修第一册.doc

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1、优选课后素养落实(十四)　双曲线的简单几何性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为(　　)A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．D[依题意－＝，即a＝2b，∴c＝＝b，所以e＝＝．]2．已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为(　　)A．y＝±2xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±xC[设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，∵e＝＝，c＝，∴＝＝，∴＝2，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故

2、选C．]3．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)A．　　B．2　　C．　　D．D[设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图，AB＝BM＝2a，∠MBA＝120°，作MH⊥x轴于H，-7-/7优选则∠MBH＝60°，BH＝a，MH＝a，所以M(2a，a)．将点M的坐标代入双曲线方程－＝1，得a＝b，所以e＝．故选D．]4．设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与

3、圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若

4、PQ

5、＝

6、OF

7、，则C的离心率为(　　)A．　　B．　　C．2　　D．A[如图，由题意，知以OF为直径的圆的方程为＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以

8、PQ

9、＝2．由

10、PQ

11、＝

12、OF

13、，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故选A．]5．如图，F1为双曲线C：－＝1的左焦点，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则

14、P2F1

15、－

16、P1F1

17、

18、的值是()A．3B．6C．4D．8-7-/7优选B[设F2为右焦点，由双曲线的对称性知，

19、P1F1

20、＝

21、P2F2

22、，∴

23、P2F1

24、－

25、P1F1

26、＝

27、P2F1

28、－

29、P2F2

30、＝2×3＝6．]二、填空题6．已知P是双曲线－＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－y＝0．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若

31、PF2

32、＝3，则

33、PF1

34、＝________．5[依题意3＝，∴a＝1，由点P在双曲线右支上得，

35、PF1

36、－

37、PF2

38、＝2a＝2，所以

39、PF1

40、＝2＋

41、PF2

42、＝2＋3＝5．]7．已知双曲线

43、C：－y2＝1，P为双曲线上任意一点，设点A的坐标为(3，0)，则的最小值为________．[设点P的坐标为，则2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋－1＝＋，根据双曲线的X围知：≥2，∴当x＝时，2的最小值为，即的最小值为．]8．过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，则该双曲线离心率的X围为________．(，＋∞)[设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，F(c，0)，渐近线y＝x，则过F的直线方程为y＝－(x－c)，则代入得(b4－a4)x2＋2a4cx－a4c2－a2

44、b4＝0，由直线与双曲线的两支都相交，得即由b4＞a4得b2＞a2，-7-/7优选∴e＝＝＝＞．]三、解答题9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．[解]　椭圆D的两个焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，因此双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5．设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25．又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为r＝3，∴＝3，得a＝3，b＝4．

45、∴双曲线G的方程为－＝1．10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a，0)的直线与原点的距离为．(1)求双曲线的方程；(2)直线y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与该双曲线交于不同的两点C，D，且C，D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m的取值X围．[解]　(1)由题意，得解得a2＝3，b2＝1．故双曲线的方程为－y2＝1．(2)把直线方程y＝kx＋m代入双曲线方程，并整理得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0．-7-/7优选因为直线与双曲线交于不同的两点，所以Δ

46、＝12m2＋12－36k2>0．①设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝．设CD中点为P(x0，y0)，其中x0＝，y0＝，则x0＝，y0＝．依题意，AP⊥CD．∴kAP＝＝－，整理得3k2＝4m＋1．②将②式代入①得m2－4m>0，∴m>4或m<0．又因为3k2＝4m＋1>0，即m>－，∴m的取值X围为m>4或－