2021_2022学年新教材高中数学第三章空间向量与立体几何3.4.3第2课时空间中的距离问题课后素养落实含解析北师大版选择性必修第一册.doc

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1、优选课后素养落实(二十八)　空间中的距离问题(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则点A1与对角线BC1所在直线间的距离是(　　)A．a　　　B．a　　　C．a　　　D．A[如图建立空间直角坐标系，则A1(a，0，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a)．∴＝(0，a，－a)，

2、

3、＝a，＝(－a，0，a)，

4、

5、＝a．∴点A1到BC1的距离d＝＝＝a．]2．如图，已知ABCA1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，点C1到平面AB1D的距离为(　　)A．aB．a-11-/11优选C．aD．aA[∵ABB1A1为正方形，∴A1B

6、⊥AB1，又平面AB1D⊥平面ABB1A1，∴A1B⊥面AB1D，∴是平面AB1D的一个法向量，由于C1D＝CD，所以C1到平面AB1D的距离等于C到平面AB1D的距离，设点C到平面AB1D的距离为d，则d＝＝＝＝＝a．]3．正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD＝G．则三棱锥B1EFD1的体积V等于(　　)A．　　B．　　C．　　D．16C[以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(2，2，4)，D1(0，0，4)，E(2，，0)，F(，2，0)，∴＝(2，，－4)，＝(，2，－4)，＝(2，2，0)，∴cos〈

7、，〉＝＝＝，∴sin〈，〉＝，-11-/11优选所以S＝

8、

9、·

10、

11、·sin〈，〉＝×××＝5，又∵平面D1EF的法向量为n＝，∴点B1到平面D1EF的距离d＝

12、·

13、＝，∴V＝·S·d＝×5×＝．]4．△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD等于(　　)A．5　　　　　B．　　　　　C．4　　　　　D．2A[设＝λ，D(x，y，z)．则(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0，4，－3)．∴x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ，∴＝(－4，4λ＋5，－3λ)．∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，∴λ＝－，∴＝，∴

14、

15、＝＝5．]5．正方体ABCD

16、A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为(　　)A．a　　　B．a　　C．a　　　D．aD[以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，-11-/11优选则平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1，1)，由A(a，0，0)，B(a，a，0)，得＝(0，－a，0)，则两平面间的距离d＝

17、·

18、＝＝a．]二、填空题6．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为________．[建立空间直角坐标系，如图，则C(1，1，0)，C1(1，1，1)，E，所以＝，＝(0，0，1)，所以在上

19、的投影长度为＝＝－，所以点C1到直线EC的距离d＝＝＝．]7．设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离为________．[设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，∵n·＝0，n·＝0，∴即，取z＝－2，则n＝(3，2，－2)．-11-/11优选又＝(－7，－7，7)，∴点D到平面ABC的距离为d＝

20、·

21、＝＝＝．]8．设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．[如图建立空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，∴＝(2，0，0)，

22、＝(2，0，2)，＝(2，2，0)，设平面A1BD的法向量n＝(x，y，z)，则取x＝1，得n＝(1，－1，－1)，∴点D1到平面A1BD的距离d＝

23、·

24、＝＝．]三、解答题9．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E是AD1的中点，求点E到直线BD的距离．[解]建立如图所示的空间直角坐标系．设EF⊥BD，F为垂足，由于F的位置未确定，设＝-11-/11优选λ(λ∈R)，则F(λ，λ，0)．∵＝，∴＝－＝．∵⊥，＝(1，1，0)，∴·＝0，即＋λ＝0．∴λ＝．∴＝．∴

25、

26、＝，故点E到直线BD的距离为．10．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，试求

27、点F到平面A1D1E的距离．[解]取AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．如图，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，F，D1(0，1，1)．∴＝，A1D1＝(0，1，0)．设平面A1D1E的一个法向量为n＝(x，y，z)．则，即取z＝2，得n＝(1，0，2)．又＝，∴点F到平面A1D1E的距离d＝

28、·

29、＝＝．-11-/11优选11．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方