2021_2022学年新教材高中数学第二章圆锥曲线2.1.2椭圆的简单几何性质课后素养落实含解析北师大版选择性必修第一册.doc

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1、优选课后素养落实(十二)　椭圆的简单几何性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．椭圆x2＋4y2＝1的焦距为(　　)A．　　　　B．　　　　C．2　　　　D．2B[先将x2＋4y2＝1化为标准方程＋＝1，则a＝1，b＝，c＝＝．故焦距为2c＝．]2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)A．5，3，0.8B．10，6，0.8C．5，3，0.6D．10，6，0.6B[椭圆方程可化为＋＝1，则a＝5，b＝3，c＝＝4，e＝＝，故选B．]3．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则

2、C的离心率为(　　)A．　　B．　　C．　　D．C[不妨设a>0，因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝．]4．方程＋＝1表示的曲线是(　　)A．焦点为点(－3，0)与(3，0)，离心率为的椭圆-7-/7优选B．焦点为点(0，－3)与(0，3)，离心率为的椭圆C．焦点为点(－3，0)与(3，0)，离心率为的椭圆D．焦点为点(0，－3)与(0，3)，离心率为的椭圆B[由方程可知，它表示焦点在y轴上的椭圆，且a＝5，b＝4，∴c＝3，所以方程表示

3、的椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，离心率为的椭圆．]5．已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么

4、＋

5、的最小值是(　　)A．0　　B．1　　C．2　　D．2C[设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，＝(1－x0，－y0)，∴＋＝(－2x0，－2y0)，∴

6、＋

7、＝＝2＝2．∵点P在椭圆上，∴0≤y≤1，∴当y＝1时，

8、＋

9、取最小值2．故选C．]二、填空题6．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值X围是________．[－，]

10、[因为点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆＋＝1上，所以点(m，n)满足椭圆的X围

11、x

12、≤，

13、y

14、≤2，因此

15、m

16、≤，即－≤m≤．]7．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________．-7-/7优选＋＝1或＋＝1[因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．所以

17、OF

18、＝c，

19、AF

20、＝a＝3，所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，所以椭圆的方程是＋＝1或＋＝1．

21、]8．已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，

22、OF

23、为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．[设PF的中点为M，椭圆的右焦点为F′，连接OM，MF′，则F(－2，0)，F′(2，0)，

24、OM

25、＝2，

26、PF′

27、＝2

28、OM

29、＝4．根据椭圆的定义，得

30、PF

31、＋

32、PF′

33、＝6，所以

34、PF

35、＝2．又因为

36、FF′

37、＝4，所以在Rt△MFF′中，tan∠MFF′＝＝＝，即直线PF的斜率是．]三、解答题9．已知F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正

38、半轴上的顶点，P是椭圆上的一点，且PF⊥x轴，OP∥AB，求椭圆的离心率？[解]　如图，设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，P(－c，m)．-7-/7优选∵OP∥AB，∴△PFO∽△BOA，∴＝，①又P(－c，m)在椭圆上，∴＋＝1．②将①代入②，得＝1，即e2＝，∴e＝．10．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)一个焦点坐标为，离心率e＝；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)求经过点M(1，2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．[解]　(1)依题意，焦点在

39、x轴上，且c＝3，又e＝，则a＝4，∴b2＝a2－c2＝42－32＝7，∴椭圆的方程为＋＝1．(2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且

40、OF

41、＝c，

42、A1A2

43、＝2b，∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，故所求椭圆的方程为＋＝1．-7-/7优选(3)法一：由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1．将点M(1，2)代入椭圆方程得＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3．故所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1

44、．法二：设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．11．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为(　　)A．　　B．　　C．　　D．B[因为P，再由∠F1PF2＝60°有＝2a，从而可得e＝＝，故选B．]12