2021_2022学年新教材高中数学第三章空间向量与立体几何3.4.3第1课时空间中的角课后素养落实含解析北师大版选择性必修第一册.doc

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1、优选课后素养落实(二十七)　空间中的角(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为(　　)A．　　　B．　　　C．　　　D．C[建立如图所示空间直角坐标系，令正四棱锥的棱长为2，则A(1，－1，0)，D(－1，－1，0)，S(0，0，)，E，∴＝，＝(－1，－1，－)，∴cos〈，〉＝＝－，∴AE、SD所成的角的余弦值为．]2．如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面所成角的余弦值为(　　)-12-/

2、12优选A．B．C．D．B[建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，所以G，＝，又因为平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，则cos〈，n〉＝＝－，所以与平面ABCD的法向量所成角的余弦值为－，所以与平面ABCD所成角的余弦值为＝．]3．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)A．B．C．D．D[以B为原点，直线BC、BA、BB1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则D(2，2，0)，B1(0，0

3、，1)，C1(2，0，1)．-12-/12优选设平面BB1D1D的一个法向量n＝(x，y，z)，则，∴，取n＝(1，－1，0)，直线BC1的方向向量＝(2，0，1)，∴直线BC1与平面BB1D1D所成的角为θ，满足sinθ＝＝．]4．正方体ABCDA1B1C1D1中，M是DD1的中点，O是底面四边形ABCD的中心，P是棱A1B1上任意一点，则直线OP与AM的夹角是(　　)A．B．C．D．与点P的位置有关C[建立如右图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则M(0，2，1)，O(1，1，0)，设P(x，0，2)，其中0≤x≤2，则＝(

4、0，2，1)，＝(x－1，－1，2)．由·＝0×(x－1)＋2×(－1)＋1×2＝0，得AM⊥OP，∴直线OP与AM所成的角是．]5．把矩形ABCD沿对角线BD折成二面角ABDC，若AB＝1，AD＝，AC＝，则平面ABD与平面BCD的夹角为(　　)A．30°　　　　B．60°　　　　C．120°　　　　D．90°B[过A作AE⊥BD，过C作CF⊥BD，则AE＝，BE＝，所以EF＝1，因为＝＋＋，所以

5、

6、2＝

7、

8、2＋

9、

10、2＋

11、

12、2＋2

13、

14、

15、

16、·cos〈，〉，-12-/12优选∴cos〈，〉＝－，∴平面ABD与平面BCD的夹角是60°，故选B．]二、填空题6．已知

17、两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为________．45°或135°[因为cos〈m，n〉＝＝＝，所以两平面所成的二面角的大小为45°或135．]7．正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角是________．30°[如图，以O为原点建立空间直角坐标系，设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，P，则＝(2a，0，0)，＝，＝(a，a，0)．设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0，1，1

18、)，设BC与平面PAC的夹角为θ，则sinθ＝

19、cos〈，n〉

20、＝，∴θ＝30°．]8．正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是________．-12-/12优选[建立如图所示坐标系，设AB＝1，则D，A(0，0，0)，F(1，0，0)，B(0，1，0)，所以＝，＝(1，－1，0)．所以异面直线AD与BF所成角的余弦值是＝＝．]三、解答题9．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60°．(1)证明：

21、平面ABEF⊥EFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值．[解](1)证明：由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，所以AF⊥平面EFDC，又AF⊂平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC．(2)过D作DG⊥EF，垂足为G，由(1)知DG⊥平面ABEF．以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，

22、

23、为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz．由(1)知∠DFE为二面角DAFE的平面角，故∠DFE＝60°，-12-/12优选则

24、DF

25、＝2，

26、DG

27、＝，可得A(1，4，0)，B(－3，4，0)，E(－3，0，0)，D(0，0，)．由已知，AB∥EF，所以AB∥平面EFDC

28、，又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，