2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第十二节第2课时导数与函数的零点问题课时规范练理含解析新人教版.doc

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1、优选导数与函数的零点问题[A组　基础对点练]1．(2021·某某某某一中模拟)已知函数f(x)＝＋4lnx－x－a在区间(0，2)上至少有一个零点，则实数a的取值X围是(　　)A．(0，2)B．[2，4ln3－2)C．D．[2，＋∞)解析：由函数f(x)在区间(0，2)上至少有一个零点，可得a＝4lnx＋－x在x∈(0，2)上有解．设g(x)＝4lnx＋－x，则g′(x)＝－1＋－＝－.当00，g(x)单调递增．因此可得g(1)＝2为极小值，且为最小值，且x

2、→0＋时，g(x)→＋∞，所以a≥2.答案：D2．(2021·某某某某模拟)已知函数y＝a＋2lnx的图象上存在点P，函数y＝－x2－2的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，则实数a的取值X围是(　　)A．[3，e2]．[e2，＋∞)C．D．解析：函数y＝－x2－2的图象关于原点对称的图象对应的解析式是y＝x2＋2.由题意可知函数y＝a＋2lnx的图象与函数y＝x2＋2的图象有交点，即方程a＋2lnx＝x2＋2有解，所以a＝x2＋2－2lnx有解．令f(x)＝x2＋2－2lnx，x∈，-12-/12优选则f′(x)＝.当x∈时，

3、f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，e]时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故当x＝1时，f(x)取得最小值3，而f＝＋4，f(e)＝e2，所以当x＝e时，f(x)取得最大值e2，故a∈[3，e2].答案：A3．(2020·某某某某期末)已知奇函数f(x)是R上的单调函数．若函数y＝f(x)＋f(－λex)恰有两个零点，则实数λ的取值X围是(　　)A．B．C．D．解析：∵奇函数f(x)是R上的单调函数，且函数y＝f(x)＋f(－λex)恰有两个零点，∴f(x)＋f(－λex)＝0恰有两个解，即f(x)＝－f(－λex)

4、＝f(λex)，即x＝λex，即方程λ＝有两个不同的实数解．令g(x)＝，则g′(x)＝＝.当x∈(－∞，1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减．∴g(x)max＝g(1)＝.作出函数g(x)＝的图象如图所示．由图可知，要使函数y＝λ与y＝g(x)的图象有两个不同交点，则实数λ的取值X围是.答案：A4．(2021·某某某某重点中学期中)已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x>0时，f(x)＝x2-12-/12优选－xlnx，则关于x的方程f(x)＝a满足(　　)A．对任意a

5、∈R，恰有一解B．对任意a∈R，恰有两个不同解C．存在a∈R，有三个不同解D．存在a∈R，无解解析：由函数f(x)是定义在R上的奇函数可知f(0)＝0.当x>0时，f(x)＝x2－xlnx，则当x>0时，f′(x)＝x－1－lnx．令g(x)＝x－1－lnx，则g′(x)＝1－＝，可知当x∈(0，1)时，g′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，从而f′(x)≥f′(1)＝0，故x>0时，f(x)＝x2－xlnx是增函数．根据函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，函数f(x)也为增函数．再根据x→0时，f(x)

6、→0可知，函数f(x)是定义在R上的严格单调递增函数，故不论a取何值，关于x的方程f(x)＝a恰有一解．答案：A5．(2020·某某某某模拟)若函数f(x)＝ex(x3－3ax－a)有3个零点，则实数a的取值X围是(　　)A．B．C．D．解析：令g(x)＝x3－3ax－a，由于函数y＝ex无零点，因此函数f(x)＝exg(x)有3个零点等价于函数y＝g(x)有3个零点．g′(x)＝3x2－3a，当a≤0时，g′(x)≥0，g(x)单调递增，函数g(x)最多只有1个零点；当a>0时，令g′(x)＝0，得x＝±，则函数y＝g(x)在区

7、间(－∞，－)上单调递增，在区间(－，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增，因此函数y＝g(x)在x＝－处取得极大值，在x＝处取得极小值．由题意知g(－)>0，g()<0，即-12-/12优选，解得a>.答案：D6．(2021·某某一中期中测试)若函数f(x)＝ax－lnx有两个不同的零点，则实数a的取值X围是(　　)A．B．C．D．解析：法一：函数f(x)＝ax－lnx，其中x>0.令f(x)＝0得ax＝lnx．当直线y＝ax和y＝lnx的图象相切时，作图如图所示．设切点为P(x0，y0)，则由y′＝得曲线y＝lnx在点P的

8、切线方程为y－y0＝·(x－x0).又因为该直线过原点(0，0)，所以y0＝1，所以lnx0＝1，解得x0＝e，所以切线斜率为，即当a＝时，直线y＝ax与曲线y＝lnx相切．由图可知，实数a的取值X围是.法二：由f(x)＝ax－lnx＝0得a＝.设