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1、现代控制理论基础讲义第二章状态方程的解9现代控制理论基础讲义第二章状态方程的解Chapter2状态方程的解我们要解决的问题是：在系统初始时刻tto时，初始状态为x(to)X0的条件下，对该系统施加控制u(t),求出系统状态x(t)的变化，即求解非齐次方程(u(t)0)初值问题的解：x(t)A(t)x(t)B(t)u(t)x(t0)x0tt0或者在系统不加控制u(t),(u(t)0称为自由系统)的条件下，求出初值x(t0)对系统状态x(t)的影响，即求解齐次方程初值问题的解x(t)A(t)x(t),x(t0)x0tto连续连续解析解线
2、性定常离散线性时变离散齐次数值解“受生解析解非齐次初/古加数值解2.1线性定常系统状态方程的解2.1.1n阶、线性、定常(A与时间t无关)连续系统齐次状态方程的解我们知道：常系数线性微分方程(标量方程)x(t)ax(t),x(0)x0,t0k.k其解为x(t)eatx0-——x0k0k!对齐次状态方程(矩阵方程)x(t)Ax(t),x(0)x0,t0很自然，仿照常系数线卜t微分方程，可得到n阶线性、定常、连续系统齐次(u(t)0)状态方程的解Atx(t)ex0Aktk0k!k—x0kk定义矩阵指数：eAt口IAtk0k!1.2,2A
3、t21Ak,Atk!k,它仍是一个矩阵。若初始时间为to,则状态方程的解为x(t)eA(tto)x0Ak(tt°)kx0k0k!AkkA(tt0)A(tt0)ek0k!称为定常(连续)系统的状态转移矩阵。9现代控制理论基础讲义第二章状态方程的解eA(tt0)物理意义：将系统从初始状态x(t。)转移到(时刻t的)状态x(t)2.1.2矩阵指数eAt的性质9现代控制理论基础讲义第二章状态方程的解(1)eAtL1[(sIA)1]称为频域求法或叫Laplace变换法;(2)e0I;(3)eAteAeA(t)；(4)(eAt)1eAt;(5)
4、若矩阵A、B满足交换律ABBA,则有eAteBte(AB)t(A、B可交换的充要条件是AB为反称矩阵，AA称为对称矩阵，AA称为反称矩阵)a11对称矩阵ajajia1na1na11;反称矩阵ajajianna1na1nann9现代控制理论基础讲义第二章状态方程的解9现代控制理论基础讲义第二章状态方程的解At、kkAt/［、dAtAtAt(6)(e)e；⑺一eAeeA；dt1(8)设P是与A同阶的非奇异矩阵，则有ePAPtP1eAtP;图2-1状态的传递性P319现代控制理论基础讲义第二章状态方程的解9现代控制理论基础讲义第二章状态方
5、程的解(9)传递性：对任意满足t2t1t0,有eA(t2t1)eA(t1t0)eA(t2t0)。这表明状态轨线由t0时刻的X(t°)转移到t2时刻的X(t2)等于由t0时刻的x(t°)转移到t1时亥ij的X(t1),再由t1时亥的X(t1)转移至
6、Jt2时刻的X(t2)(参见图2-1),故称eA(tt0)为状态转移矩阵。这意味着，状态方程的解可以任意分段求取，这就有可能避开对初始条件的处理，这是动态系统用状态空间法的又一优点。而在经典控制理论中，用高阶微分方程描述的系统，求解时对初始条件的处理是非常麻烦的，一般都假设x(t0)x(0
7、)0去计算系统的响应。2.1.3矩阵指数eAt的计算方法_kkk!(1)定义法求eAteAtA1-IAt1A2t2k0k!29现代控制理论基础讲义第二章状态方程的解1一，.、这种方法很适合计算机求(级数)数值解，由于’的存在，可以取到任意k!精度，但不易求解析解，只有在A是“幕零矩阵”的情况下才可求得解析解。幕零矩阵：存在某一正整数k,使得Ak0称为k次“幕零矩阵”。A为幕零矩阵的“充要条件”是A的所有特征值为零:AXA,i0i1,2,,n9现代控制理论基础讲义第二章状态方程的解9现代控制理论基础讲义第二章状态方程的解特例：A为数字
8、矩阵，即AP31例2-1:A2AteIAt122A2t22!-0-0-0t2/2t1，A30,3次“幕零矩阵”9现代控制理论基础讲义第二章状态方程的解(2)Laplace法求eAteAtL1[(sIA)1],但当阶数较高时,求解(sIA)1较困难。下面介绍9现代控制理论基础讲义第二章状态方程的解9现代控制理论基础讲义第二章状态方程的解法捷耶夫算法，给出递推公式(sIA)(sIA)bBsn1B2sn2B1IaksIA1-tr(ABk)kn1a1sk12BkABk1ak1Ik2,3BniSan1Sann此时必有nBnBn109现代控制理
9、论基础讲义第二章状态方程的解计算顺序是:9现代控制理论基础讲义第二章状态方程的解9现代控制理论基础讲义第二章状态方程的解B1Ia1trAB2Aa1Ia2b3ab2a2I322A2a1Aa2Ia31-tr(AB2)21”心)12-tr(
