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1、专题4几何证明【知识要点】1.进一步掌握直角三角形的性质，并能够熟练应用；2.通过本节课的学习能够熟练地写出较难证明的求证；3.证明要合乎逻辑，能够应用综合法熟练地证明几何命题。【概念回顾】1.全等三角形的性质：对应边（），对应角（）对应高线（），对应中线（），对应角的角平分线（）。2.在Rt^ABOK/C=90,/A=30,贝UBCACAB=（）【例题解析】【题1】已知在△ABCtA108°,AB=AGB阡分ABC.求证：BC=AB+CD【题2】如图，点E为正方形ABCD的边CD上一点，点F为CBDEB的延长线上的一点，且EALAF.求证：DE=BF.【题3】如图，AD为△ABC的角平
2、分线且BD>CD求证：AB=AC.A【题4】已知：如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE,ABED,ACIIFD,证明AB=DE,AC=DF.【题5】已知：如图，△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA=PB=4,PC=5.求：/APB的度数.线，过C作CUAE垂足是F,过B作BDLBC交CF的延长线于D(1)求证：AE=CD;(2)若AC=12cm,求BD的长.【题71等边三角形CEF于菱形ABCDi长相等.求证：(1)/AEFhAFE(2)角B的度数【题8】如图，在△ABC中，/C=2/B,AD是4ABC的角平分线,/1=/B,求证：AB=AC+CD.［题9］如图，在三角形A
3、BC^,AD是BC边上的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F.1求证：AF=FC2【题10］如图，将边长为1的正方形ABC曝点C旋转到A'B'CD'的位置，若/B'CB=30g,求AE的长.【题11】AD,BE分别是等边△ABC中BC,AC上的高。M,N分别在AD,BE的延长线上，/CBM=ACN求证AM=BN.。上OD。屋OC点E、【题12］已知：如图，ADBC相交于点QF在AD上，且AE=DR/ABE=/DCF求证：BE
4、ICF【巩固练习】【练1】如图，已知BE垂直于AD,CF垂直于AD,且BE=CF.(1)请你判断AD是三角形ABC的中线还是角平分线？请证明你的结论。(2)
5、链接BF,CE,若四边形BFCE是菱形，则三角形ABC中应添加一个什么条件?【练2】在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边上的一个动点，且PB=PD,DE垂直AC,垂足为E。(1)求证：PE=BO(2)设AC=3a,AP=x,四边形PBDE的面积为y,求y与x之间的函数关系式。【练3】已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点，AQBC的延长线叫MN与E、F求证/DENWF.【练4】如图，若C在直线OB上，试判断△CDW状。【练5】已知AABCAD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边向形外作等腰直角三角形。求证：EF=2AD1、【练6
6、1如图，等边三角形ABC的边长为2,点P和点Q分别是从A和C两点同时出发，做匀速运动，且他们的速度相同，点P沿射线AB运动，Q点沿点C在BC延长线上运动。设PQ与直线AC相交于点D,彳PEIAC于点E,当P和Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论。【提示】【题1】分析：在BC上截取BE=BA,连接DE.可得△BA四△BED.由已知可得：ABDDBE18°,abed108o,CABC36°....DECEDC72°,「.CD=C^「•BOAB+CD【题2】分析：将^ABFW为AAD或A顺时针旋转90°即可.•「FABBAEEADBAE90°/.FBAEDA♦♦又FBAEDA90°,A
7、B=AD,「.△ABMAADE(ASA)DE=DF.【题3】分析：延长AD到E使得AD=ED.易证△ABN△ECDEC=AB.■「BADCAD.ECAD.AC=EC=AB.【题4】本题比较简单，难点在BF+CF=CE+CF,一般刚接触三角形证明的人会在这失手。证明：BF=CE又•「BF+CF=BCCE+CF=EF・•.BC=EF.AB//DEAC//FD「•/B=/E,/DFENBCA又BF=CE「.△DE*AABC(ASA・•.AB=DEAC=DF【题5】顺时针旋转△ABP600,连接PQ,则△PBCg正三角形可得APQ0直角三角形。所以/APB=150。【题6】解析：如果遇到这类题，有
8、时在图形中隐藏着一些不明显的条件，你就先试试一个角加公共角等于90°,再试其它角加这个公共角是否能等于90°,能说明它俩相等。证明：（1）vBD1BQCF±AE・•・/DBCNACBhEFC=90/D+/BCD=90/FE"BCD=90.•./D=ZFEC又•••/DBC=ACE=90,AC=BC.•.△DBC2AACE(HD・•.AE=CD(2)由(1)可知ABDC^AACE/.BC=AC=12m,BD=CE••.AE
