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1、两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移・知识梳理1.设A(刀,y。,B(x2,y2),则AB=(X2—xi,y2—y。.，
2、AB
3、二J(x2玉)2(y2y02.2.线段的定比分点是研究共线的三点P1,P,P2坐标间的关系.应注意：（1）点P是不同于R,P2的直线PiP2上的点；（2）实数入是P分有向线段P1P2所成的比，即P-P,AP2的顺x〔x2x,序,不能搞错；（3）定比分点的坐标公式OP1+——OP2（O为平面内任一点）（入W—1）.y1y2yn3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系,
4、xh,yk.特别提示1.定比分点的定义：点P为P1P2所成的比为入，用数学符号表达即为PF=入PP2.当人＞0时，P为内分点；入＜0时，P为外分点.2.定比分点的向量表达式:1P点分P1P2成的比为入，则op=—13.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题・点击双基1.（2004年东北三校联考题）若将函数y=f（x）的图象按向量a平移，使图象上点的坐标由（1,0）变为（2,2）,则平移后的图象的解析式为(x+1)-2=f(x—1)-2=f(x—1)+2=f(x+1)+2解析：由平移公式得a=（1,2）,则平移后的图象的解析式
5、为y=f（x—1）+2.答案：C2.(2004年湖北八校第二次联考)将抛物线y2=4x沿向量a平移得到抛物线y2—4y=4x,则向量a为A.(—1,2)B.(1,—2)C.(—4,2)D.(4,—2)解析：设a=(h,k),由平移公式得xxhxxh,yykyyk,代入y2=4x得(y—k)2=4(x—h),y2—2ky=4x—4h-k2,即y2—2ky=4x—4h—k2,1-k=2,h=—1.••a=(—1,2).答案：A思考讨论本题不用平移公式代入配方可以吗提示：由y2-4y=4x,配方得(y-2)2=4(x+1),•.h=
6、-1,k=2.(知道为什么吗)A.3C.-38解析：设A点分BC所得的比为入，则由2=3.设A、BC三点共线，且它们的纵坐标分别为2、5、10,则A点分BC所得的比为B.-83D.-335-^,得入18答案：C4.若点P分AB所成的比是入（入w0）,则点A分BP所成的比是解析：AP=XPB,AP=X(-AP+AB).(1+入)AP=XAB.AB=1AP..•.BA=-1-AP.答案：—15.（理）若^ABC勺三边的中点坐标为（2,1）、（一3,4）、（一1,—1）,则△ABC勺重心坐标为解析：设A（xi,yi）B(X2,C(X
7、3,y3),x1x22y〔y22x〔x3则2y〔y32x2x32V2y322,1,3,4,X1yiX2V2x32V34「•重心坐标为答案：（—-3（文）已知点1,1.M(6,2)和M(17）,直线y=mx-7与线段MM的交点M分有向线段M1M2的比为3：2,则m的值为解析：设M（x,y),则6x=-132=15=335227y=10232=^4—21=5,即M(3,5),代入5y=mx—7得5=3m-7,m=4.答案：4・典例剖析【例1】已知点6)和B(30）,在直线AB上求一点P,使
8、AP
9、二」
10、AB
11、.3剖析：
12、AP
13、=^
14、
15、AB
16、,3则靠=3AB或AP=°BA.设出P（x,y）,向量转化为坐标运算即可.解：设P的坐标为(x,y),若而=1AB,则由(x+1,y—6)=1(4,—6),得3341x1了解得x3，y62.y4.此时P点坐标为（2,4）.3若AP=-1AB,则由（x+1,y-63d47x13'解得x§，y62.y8.・•.P（—7,8）.综上所述，P（1,33深化拓展=——（4,一6）得3本题亦可转化为定比分点处理.由AP入=1,代入公式即可；若ap=-1AB234)或(-7,8).3=1AB,得AP」PB,则p为NB的定比分点，32
17、,则晶=—1PB,则p为AB的定比分点，入4由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法【例2】已知△ABC勺三个顶点坐标分别是A(4,1),B(3,4),C(—1,2),BD是/ABC勺平分线，求点D的坐标及BD的长.剖析：:A、C两点坐标为已知，，要求点D的坐标，只要能求出D分AC所成的比即可.解：•・•
18、BC=2j5,
19、AB=/0,，D分AC所成的比入=但些上2DCBC2由定比分点坐标公式，得xd95-2,yD1221一2，D点坐标为(9-5^2,J2)
20、BD=3(95呢③2(豆4)2=,10
21、468年.评述：本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解出D点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化^深化拓展本题也可用如下解法：设D(x,y),•••BD是/ABC勺平分线，=.BABDBCBD-；-；—
