傅里叶级数课程及习题讲解.docx

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1、第15章傅里叶级数§15.1傅里叶级数一基本内容一、傅里叶级数f(x)anXn在哥级数讨论中n1，可视为f(X)经函数系1,X,X2,

2、

3、卜xn,m线性表出而得.不妨称｛1，x，x2,in，xn,iii｝为基，则不同的基就有不同的级数.今用三角函数系作为基，就得到傅里叶级数.1三角函数系函数列1,cosx，sinx，cos2Ksin2x，",ssnx,sinnx，称为三角函数系.其有下面两个重要性质.(1)周期性每一个函数都是以2为周期的周期函数；(2)正交性任意两个不同函数的积在[,]上的积分等于零，任意一

4、个函数的平方在上的积分不等于零.对于一个在[,]可积的函数系un(X)：X[a,b],n1,2,

5、

6、

7、,定义两个函数的内积为：Un(X),Um(X))b”n(X)Um(X)dX.Un(X),Um(X)：如果l0mn0mn,则称函数系Un(x)：x[a,b],n1,2,HI为正交系.由于1,sinnx1sinnxdx1cosnxdx0sinmx,sinnx.mnsinmxsinnxdx0mn.mncosmx,cosnxcosmxcosnxdx0mn.sinmx,cosnxsinmxcosnxdx01.112dx

8、2所以三角函数系在上具有正交性，故称为正交系.利用三角函数系构成的级数一ancosnxbnsinnx2n1称为三角级数，其中aoabdlbanhJII为常数2以2为周期的傅里叶级数定义1设函数f(x)在,上可积，ak1—：f(x),coskx1-f(x)coskxdxk°,1,2,

9、

10、(.1.1bk—：f(x),sinkxf(x)sinkxdxk1,2,HI，称为函数f(x)的傅里叶系数，而三角级数a。2称为f(x)的傅里叶级数，记作ancosnxbnsinnxf(x)ancosnxbnsinnx1f(x)按

11、定义1所得系数而获得的傅里叶级数并不知这里之所以不用等号，是因为函数其是否收敛于f(x).二、傅里叶级数收敛定理定理1若以2为周期的函数f(x)在［，］上按段光滑，则a。ancosnxbnsinnxn1f(x0)f(x0)其中an,〉为f(x)的傅里叶系数.定义2如果f(X)C［a,b］,则称f(x)在［a，b］上光滑.若x[a,b),f(xx(a,b],f(x且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称几何解释如图.按段光滑函数图象是由有限条光滑曲线段组成，它至多有有限个第一类间断点与角点.推论如果f(x)是

12、以2为周期的连O段光滑，则xR,0)，f(xO)存在；°),f(x°)存在，f(x)在［a，b］上按段光滑.J二］上按定义3设f(x)在(f(x)a有2n1,］上有定义，函数ancosnxbnsinnx?(x)f(x)f(x2k)(,](2k,2k],k1,

13、2,

14、称f(x)为的周期延拓.习题解答解：1在指定区间内把下列函数展开为傅里叶级数⑴f(x)x,(i)x,(ii)0x2.其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.由系数公式得a0f(x)dxxdx0an1时,xcosnxdx」nxd(sinnx)所以(ii)、

15、xsinnx

16、xsinnxdx1xcosnx

17、f(x)sinnxdx0xd(cosnx)cosnxdx(1)n1-n，)为所求.n其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.n11)n1sinnxx(由系数公式得a。f(x)dx12xdx21时,i2anxcosnxdx20xd(sinnx)2xsinnx

18、0sinnxdx0bnxsinnxdx所以(2)2oxd(cosnx)1——xcosnxnf(x)f(x)=2

19、0sinnx2cosnxdx—n(0,2)为所求.(i)-n

20、滑，故可展开为傅里叶级数.由系数公式得112一f(x)dx—xdx1时，121一xcosnxdx一n2xd(sinnx)12——xnsinnx

21、2xsinnxdx2~~2nxd(cosnx)xcosnx

22、cosnxdx(1)ntnx-1-xsinnx

23、nsinnxdxx2d(cosnx)xcosnxdx2cosnx

24、xd(sinnx)sinnxdx0所以2f(x).nsinnx1)-,nx(，）为所求.n解:1其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.由系数公式得a。f(x)dx2x2dxan1时,120x2cosn

25、xdx2,xd(sinnx)bi所以⑶解：12——xnsinnx2xsinnxdx2~~Tn2~~Tn2°xd(cosnx)2xcosnx

26、01——xnf(x)f(x)sinnxdx2cosnx

27、02~~2n2~~2n函数f（x）2~~Tn4cosnxdx—nx2d(cosnx)xcosnxdxxd(sinnx)2xsinnx

28、0axcosnx2~2n2sinnxdx0sinnx(ab,ax⑹2）为