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1、数学在经济生活中的应用例1设：生产x个产品的边际成本C=100+2x,其固定成本为C(0)=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求最大利润解:总成本函数为C(x)=X0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000总收益函数为R(x)=500x总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000,L'=40@x,令L'=0彳4x=200,因为L''(200)<0所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L(200)=400200-2002-
2、1000=390009(元)例2某企业每月生产Q(吨)产品的总成本C(千元)是产量Q的函数，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：R(Q)=20QL(Q)=R(Q-C(Q=20Q-(Q2-1Q+20)=-Q2+30Q-20L'(Q)=(-Q2+30Q-20)'=-2Q+30则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为L'(10)=-2X10+30=10(千元/吨);L'(15)=-2X15+30=0(千元/吨)；L
3、'(20)=-2X20+30=10(千元/吨);以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。例3设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-Q1000(Q为销售量)，假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000则利润函数L(Q尸R(Q)-C(
4、Q)=-Q21000+40Q-60000L'(Q)=1500Q+40,令L'(Q)=0导Q=20000•.L''(Q)=500<0，Q=2000时L最大，L(2000)=340000元所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。X银行提供每年支付一次，复利为年利率8%的银行帐户，Y银行提供每年支付四次，复利为年利率8%的帐户，它们之间有何差异呢？解两种情况中8%都是年利率，一年支付一次，复利8%表示在每年末都要加上当前余额的8%,这相当于当前余额乘以1.08.如果存入100元，则余额A为一年后：A=1
5、00(1.08),两年后：A=100(1.08)2,…，t年后：A=100(1.08)t.而一年支付四次，复利8%表示每年要加四次(即每三个月一次)利息，每次要加上当前余额的8%/4=2%。因此，如果同样存入100元，则在年末，已计入四次复利，该帐户将拥有100(1.02)4元，所以余额B为一年后：B=100(1.02)4,二年后：B=(1.02)4X2,…，t年后：B=(1.02)4t。注意这里的8%不是每三个月的利率，年利率被分为四个2%的支付额，在上面两种复利方式下，计算一年后的总余额显示一年一次复利：A=100
6、(1.08)=108.00,一年四次复利：B=100(1.02)4=108.24.因此,随着年份的延续，由于利息赚利息，每年四次复利可赚更多的钱.所以，付复利的次数越频繁可赚取的钱越多(尽管差别不是很大)^你买的彩票中奖1百万，你要在两种兑奖方式中进行选择，一种为分四年每年支付250000元的支付方式，从现在开始支付；另一种为一次支付总额920000元的一次付清方式，也就是现在支付，假设银行利率为6%以连续复利方式计息，又假设不交税，那么你选择哪种兑奖方式？解：我们选择时考虑的是要使现在价值(即现值)最大，那么设分四年
7、每年支付250000元的支付方式的现总值为P,则0.060.06x20.06x3P=250000=250000e+250000e+250000e=250000+235411+221730+208818=915989<920000因此，最好是选择现在一次付清920000元这种兑奖方式例6:设银行存款现值P和将来值B,年利率为r.则t年后的本利和即将来值B=(1+r)t若一年分n次计算复利，则每期利率为三，一年后的本利和即将来值为B=P(1+-)nn而t年后的本利和即将来值为B=P（1+r）tn当8-n时，则t年后的本利和
8、即将来值为B=lim(x->8)p(i+L)tn=petn从而现值p和将来值B之间的关系为B=pet现值P为1,禾1J息r为100%,t=1,则得B=e例7：某种产品的总成本C（万元）与产量q（万件）之间的函数关系式（即总成本函数）为C=C（q）=100+4q-0.2q2+0.01q3求生产水平为q=10（万件）时的平均成本和边际
