数学建模选讲.docx

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1、数学建模选讲姚军一、授课内容与方法数学建模(MathematicalModelling)故名思义就是建立数学模型以解决实际问题的过程。它利用数学对实际问题进行分析研究,抽象出反映事物内在活动规律的数学关系表达式,通过对这些数学关系表达式的求解和反复验证,最终解决实际问题。数学模型的分类目前还没有统一的标准,通常可以根据不同的分类原则(数学方法、研究问题、变量性质、了解程度等)分成不同的类型。我们着重介绍与几何学相关的数学建模问题。如果时间允许就再介绍几个重要的算法。由于时间所限,我们并不准备花费大量的时间来复习和介绍几何知识,而是对数

2、学建模中常用的几何知识作一简单的罗列。我们着重介绍建模的例子,通过例子来介绍相关知识。二、数学建模中常用的几何知识1、矢量的加法(三角形法则、平行四边形法则)、数量积和矢量的线性关系.2、解三角形。3、平面直角坐标系、直线方程、二次曲线方程、切线、法线、抛物线和椭圆的光学性质。4、空间直角坐标系、球面坐标、旋转椭球面和旋转抛物面的方程及它们的性质。5、矢量的微分运算:设r⑴=(x(t),y(t),z(t)),则⑴r1(t)=(x(t),y(t),z(t))(2)(U(t)V(t))=U(t)V(t)(3)(,(t)P(t))=,(t)

3、J(t),,(t)T(t)三、几个简单的例子1、方桌问题在一块不平的地面上,能否找到一个适当的位置,将正方形桌子的四脚同时着地?对于这个似乎与数学毫无关系的问题.我们下面将利一个巧妙而又简单的数学模型给出一个肯定的回答。首先,我们假设16(1)方桌的四个脚构成平面上的严格的正方形;(2)地面高度不会出现间断,亦即不会出现台阶式地面。如图1-1以正方形的中心为坐标原点,当方桌绕中心转动时.正方形对角连线向量CA与x轴所成之角为。。设A、C两脚与地面距离之和为g(0),日D两脚与地面距离之和为f(。)。不失一般性,设g(0)=0。另外,方

4、桌在任何时刻总有三只脚可以着地,即对任何0,f(9)与g(。)中总有一个为零。由假设条件(2),f(。)与g(。)皆是9的连续函数。这样,我们把方桌问题归结为数学问题:对连续函数f(8)及g(8),g(0)=0,f(0)>0,且对任意8,皆有f(9),g(8)=0,证明:存在90使得f(90)=g(90)=0.证明:⑴若f(0)=0,则取80=0即可证明结论。(2)若f(0)>0,则将方桌旋转九/2,这时,方桌的对角线互换,故f(兀/2)=0,g(兀/2)>0,构造函数h(9)=f(9)-g(9)h(0)>0,h(显然,h(。)是连续

5、函数,由连续函数的介值定理.存在00€(0,兀/2),使h(00)=0,即f(00)=g(J0),又由于f(00)g(00)=0故有f(00)=g(00)=0.故原问题得到解决。思考题:如果将正方形桌子改成长方形桌子,是,则易有兀/2)<0否还有相同的结论?图1-12、铺地砖问题要用40块正方形瓷砖铺设如图2所示图形的地面,但商店里只有长方形瓷砖,每块大小正好等于正方形的两块,一人买了20块长方形瓷砖,那么这人能铺好地面吗?16首先要考虑用20块长方形瓷砖正好铺成图2-1所示地面的可能性是否存在。只有可能性存在才谈得上用什么方法铺设问

6、题。为此,在图2-1上黑、白相间染色,我们发现共有19个白格和21个黑格,一块长方形瓷砖可盖住一白一黑两格,所以铺上19块长方形瓷砖后,不管用什么方式总要剩下2个黑格没有铺上,而一块长方形瓷砖是无法盖住如图的两个黑格的,唯一方法是把最后一块长方形瓷砖一分为二。解决铺瓷砖问题中所用的方法在数学上称为“奇偶校验”,即如果两个数都是奇数或偶数,则称具有相同的奇偶性。如果一个数是奇数,另一个数是偶数,则称具有相反的奇偶性。在铺瓷砖问题中,同色的两个格子具有相同的奇偶性,异色的两个格子具有相反的奇偶性,长方形瓷砖显然只能覆盖具有相反奋偶性的一对

7、方格。因此,把19块长方形瓷砖在地面上铺好后,只有在剩下的两个方格具有相反的奇偶性时(暂不考虑是否相邻),才有可能把最后一块长方形瓷砖铺上。现在由于剩下的两个方格具有相同的奇偶性,所以无法铺上最后一块长方形瓷砖。这就从理论上证明了用20块长方形瓷砖铺好如图2-1所示图形是不可能的。以上所用的方法称为奇偶校验法,这种方法巧妙而简单,富有创造力,在估计事情不可能成立时.可考虑使用奇偶这一方法来论证。沿一各面均为菱形的十二面体(图2-2)思考题:各棱行走,能否寻找到一条这样的路径,它通过各顶点恰好一次(Hamilton路径问题)3、七桥问题

8、流经哥尼斯堡的普雷格(Pregel)河湾处,有两个岛和七座桥(图3-1)c当地流传一个游戏:要求在一次散步中恰好通过每座桥一次。但一直没有人能做到,后来大数学家Euler知道了这个问题,并简化了这个问题的表示法,他用点代

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