数理经济学第6章课后题答案要点.docx

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1、第六章习题答案1.考虑如下最优化问题maxy=x1s.t.」x2十x;<1x1,x20Q用图解法解此题。并检验均衡解点是否满足(1)约束规格;(2)库恩―塔克极大化条件解:x2xi可行域为OAB利用图解法求的均衡点为B(1,0),maxy=122..对于B(1,0)来说,有x1+x2=1E1,因此该约束规格是紧的。22八构建拉格朗日函数L(x1,x2,■)=x1"...(x1x2-1)LcLc——=1+2x1x2=0永14…C•一=2欣2=o=B(1,0)符合K—T条件tx2-22_Mx〔+x2-1)=0_22

2、九之0,x1+x2—1之02.考虑如下最优化问

3、题miny=x122x1一x2至0stJ12x1,x2之0用图解法解此题。并检验均衡解点是否满足(1)约束规格;(2)库恩―塔克极大化条件解:利用图解法求的均衡点为o(0,0),miny=0求法同上,可知约束规范是紧的2、构建拉格朗日函数L(x1,x2,,)=x1-/,,(x1-x2)—=1+2九x1=0cx1乩、c二一=九=0=o(0,0)符合K-T条件球…2、C九(x1—x?)—0C2c000,x1-x2>03.考虑如下最优化问题miny=x133x1—x2之0st」x2之0检验均衡解点是否满足(1)约束规格;(2)库恩―塔克极大化条件解:利用图解法求的

4、均衡点为o(0,0),miny=0求法同上,可知约束规范是紧的构建拉格朗日函数L(x1,x2,')=x1'(x13-x2)「L2J=1+3,凶=0cxi二=九=0=o(0,0)不符合K-T条件cx2、’~,3、一九(x1—X2)-0-3-九之0,x1-x2>04.写出下面优化问题的一阶必要条件maxf(x,y,z)=x-y-z2222x+y+z<2st」,x,y,z>0解:L(x1,x2,1)=x-y-z一生(x2y2z2-2)一阶必要条件为:=二1-2x=0:x:L—--12y-0:y:L-T21z-0:z一0,(x2y2z2-2)=05.求解下面最优化

5、问题miny=x1x2(1)22maxxx4ys.t.』2x+2y<1、x,y之0(2)x1—x2-0一x1—义2--6St.12x2-1x1,x2—0(3)miny=40x15x210x3

6、5x1x2-10s.t.J2x1+x3>30L.x1,x2,x3—0maxf(x1,x2)=x1-x2(4)x2+x2M4st.」%>0,x2>0maxy=x1x2(5)X1+x2916st,iX1,x2—0解:(1)L(x,y,儿)=x2+x+4y2-“2x+2yT)一阶必要条件为:=2x1-2=0cXELCC八—=8y-2九=0cy九(2x+2y_1)=0九>0,2

7、x+2y<1解得x=310(2)图解法一314-可仃域为x=1,y=—,九=—均衡解点A(1,1)miny=21055(3)L(x1,x2,x3,1,'2)=40x15x210x311(10-5x1-x2)2(30-2x1-x3)一阶必要条件为:6X1cL=5-K120^X2^L—=10-儿2-0歆3人1(10-5x1-x2)=0%(30—2x1-3x3)=0…2>0,5x1+x2>10、2x1+x3230(4)L(X1,X2,1)=一阶必要条件为:2一X2;:L—=1_2■x1=0;X1;:L__.—=-2x2-2.x2=0改2,(x12x22-4)=00

8、:二0,x12x2244解得x1=2,x2=0,⑸L(X1,x2,1)=】一阶必要条件为:解得X1=X2='6.考虑如下最优化模型cL、八—=x2—九=0故1比——=X1-'-0cx2Mx1+x2-16)=00至0,x1+x2E16maxy=x13…、3_—x2—(1—x1)至0s.t.」Xi,X2>0证明:(1)均衡解(X:,x2)=(1,0)不满足库恩-塔克条件;(2)当引进新乘数%>0,把拉格朗日函数修改成如下形式mZ0=10fX1,x2,…,xn「.二^iri-gX1,X2,一,xnLi1则在点(1,0期满足库恩-塔克条件。解:(1)L(X1,X2,

9、九)=x[+九]―(1—X1)3—X2I一阶必要条件为:汽L2_—=1+3X(1-x1)2=0以三一00及2九-(1-X,-x2]=0九>0,-(1-X1)3-X2之0不符合K-T条件。(2)此时,L(X1,X2,九,九0)=K°X1+儿

10、_(1一X1)3+X2一阶必要条件为:三=03'(1-x1)2=0X1::L一,_n——0X2■■■■((1-X1)3X2■-0,(1-x1)3x2-0当%=九=0时,符合K-T条件7.消费者对两种商品的偏好用效用函数表示为U(X1,X2)u(X1X2假设消费者的收入为12兀,两种商品价格分别为p1=1,P2=2。试求最优

11、的商品组合。解:由题意知,Px1-P2x2=x12x

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