2020~2021学年高一数学下学期期末考点黄金200题9（解答题-压轴20题）北师大2019版解析版.docx

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1、专练09（解答题-压轴-20题）1．关于的方程的两根为，且，求实数的值.【答案】或【分析】由于题目没有说明，所以可能为复数根.判断出.利用判别式进行分类讨论，结合根与系数关系列方程，解方程求得实数的值.【详解】依题意可能为复数根，且，.①当时，，解得，（满足，另一个根不满足，舍去）.②当时，虚根成对并且互为共轭复数，所以，，解得，（满足，另一个根不满足，舍去）；综上或.2．设，．（1）求证：是纯虚数；（2）求的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）分析得出，利用复数的除法化简复数，可

2、证得结论成立；（2）分析得出，计算得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】（1）由题意可得，所以，，，则，因此，是纯虚数；（2），所以，，因为，则，解得，，则，所以，，因此，.【点睛】关键点点睛：本题考查复数模的取值范围的求解，解题的关键在于将复数的模转化为关于的二次函数的值域来求解，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域的求解.3．设为方程，（）的两个根，，（1）求的解析式；（2）证明关于的方程，当时恰有两个不等的根，且两根之和为定值.【答案】（1）；（2）定值为，证明见解析.【分析】（1

3、）根据判别式讨论，根与系数之间的关系即可求解.（2）作出函数图象，证出函数的图象关于直线对称，根据图象以及对称性即可求解.【详解】（1），若，即时，为方程，（）的两个根，则，由根与系数的关系，得，，因此，当时，，当时，，当，即时，方程的根为共轭复数，，综上可得，；（2）作出的图象，如图：当，函数关于直线对称，当时，点关于直线对称点为，由于，即所以函数的图象关于直线对称当时，为增函数，且；当时，为减函数，且.所以当，方程在区间上有唯一解，在区间上也有唯一解，则.【点睛】关键点点睛：本题考查了方程的复数根，

4、解题的关键是判断函数函数的图象关于直线对称，考查了分类讨论的思想.4．如图，已知正方形的边长为2，点为正方形内一点.（1）如图1（i）求的值；（ii）求的值；（2）如图2，若点满足.点是线段的中点，点是平面上动点，且满足，其中，求的最小值.【答案】(1)（i）4（ii）8（2）【分析】(1)（i）由向量的数量积的运算性质和向量的加法法则可得，结合数量积的定义可得答案.（ii）利用向量数量积的运算性质结合图形将原式化为，利用向量的加法法则即化为，结合数量积的定义可得答案.（2）以为原点，为轴，为轴，建立平

5、面直角坐标系，得出相应点的坐标，根据条件得出点的坐标，再由向量数量积的坐标公式可得答案.【详解】（1）（i）正方形的边长为2，则,.（ii）（2）以为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系.由，则所以,点是线段的中点，则设，，，由，即所以，解得，即,当时，的最小值为【点睛】关键点睛：本题考查向量的加法法则和数量积的运算，建立坐标系利用坐标法求解向量的数量积的最值，解答本题的关键是建立坐标系，根据条件得出点坐标，从而得出，属于中档题.5．已知向量满足：.（1）求向量与的夹角；（2）求.【答案】（1）；（2）

6、.【分析】（1）设向量与的夹角，利用向量的数量积公式计算，可得向量的夹角；（2）利用向量的模长公式：，代入计算可得.【详解】（1）设向量与的夹角，，解得，又，（2）由向量的模长公式可得：==.【点睛】本题主要考查向量数量积公式的应用，向量模长的计算，求向量的模长需要熟记公式，考查学生的逻辑推理与计算能力，属于基础题.6．已知是同一平面内的三个向量，其中（1）若，且，求的坐标；（2）若，且与垂直，求与的夹角.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）根据共线向量的坐标关系运算即可求解；（2）由向量垂直及数量

7、积的运算性质可得，再利用夹角公式计算即可.【详解】（1）设，且，，解得或，或；（2）由已知得，即，整理得，，又，.【点睛】本题主要考查了共线向量的坐标运算，数量积的运算，夹角公式，属于中档题.7．已知，，向量与向量夹角为45°，求使向量与的夹角是锐角时，的取值范围.【答案】【分析】由两个线性组合的新向量夹角为锐角有且向量与不共线，而由已知可得，进而得到且即可求的取值范围；【详解】∵，，与夹角为45°，∴，而，要使向量与的夹角是锐角，则，且向量与不共线，由得，得或.由向量与不共线得所以的取值范围为：【点睛

8、】本题考查了利用向量的数量积公式，并根据夹角求参数范围，结合向量点乘运算律的应用；8．已知函数.（1）当时，求函数的取值范围；（2）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，求的单调递增区间.【答案】（1）；（2），.【分析】（1）根据余弦的二倍角公式、辅助角公式化简，得到，再利用正弦函数的性质确定当时，的取值范围；（2）根据图象的平移得到，再利用正弦函数的性质可求得得单调递增区间.【详解】（1）， ，，.函数的取值范围为. (2)由题意知：，