实函数和复函数异同论文.doc

《实函数和复函数异同论文.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、实函数和复函数的异同【摘要】复函数在实函数的基础上有扩展和延伸，它们在各个方面既有相似点也有不同点。对于实函数和复函数异同的比较对于学习和理解函数理论具有重要的意义。本文介绍了函数的定义和分类，实函数和复函数的定义，以及实函数和复函数在极限，连续性，导数，积分上的异同，全面详细比较了实函数和复函数。【关键词】实函数复函数异同【中图分类号】G64【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2014）04-0129-021.函数的定义和分类函数的本质是一种对应关系，描述着应变量随自变量的变化的形式。现代函数

2、的定义是由集合描述的，即从一个集合到另一个集合的对应。函数的分类方式是多种多样的，不同的分类方式描述了函数的不同性质。根据函数映射方式的不同，可以分为单射函数，满射函数和双射函数；根据函数的周期性，可以分为周期函数和非周期函数；根据函数的增减性，可以分为单调递增函数，单调递减函数，凹函数，凸函数和复杂函数；根据函数解析式的形式，可以分为二次函数，三次函数，指数函数，对数函数等；函数的性质非常之多，导致其分类形式也有很多。但是，其中最重要的一种分类方式是将函数分为实函数和复函数。2.实函数的定义实函数是指定义

3、域和值域都是实数的函数。可以看出，实函数的研究对象是实数，其本质是实数与实数之间的对应关系，是实数随着实数的变化关系。从集合的定义角度来看，实函数的本质是实数集到实数集的对应。实函数的一个重要特征就是，函数关系可以反映在坐标系中。研究实函数的分支叫作实变函数论，是研究以实数作为函数自变量的理论，是数学领域的一个重要分支。实变函数论以集合论为根基，是微积分理论的进一步扩展和延伸。实变函数论的主要研究内容是实函数的连续性质，极限性质，微分积分性质，测度论等。3.复函数的定义复函数是指自变量为复数的函数。与实数不

4、同，复数有实部和虚部，相比之下复函数的情形就更为复杂。复函数研究的不仅是复数和复数之间的函数关系，而且包括复数和实数之间的函数关系。从集合理论的角度来看，复数集合是实数集合和虚数集合的并集，而复函数则是从复数集合到复数集合的对应关系。研究复函数的理论就做复变函数论，是研究以复数作为函数自变量的函数理论。其主要研究内容包括级数，留数，解析函数，复函数的微分和积分等。由以上论述可以看出，从函数性质的角度研究实函数和复函数，它们的性质既有相同之处，也有不同之处。对于实函数和复函数之间异同的把握，对于掌握它们各自的

5、性质，理解函数的本质，熟练函数的应用是有重要意义的。4.实函数和复函数的极限性质极限对于微积分乃至现代数学和物理来说是一个极为重要的概念，它反映的是变量在变化过程中的趋向性质。很多数学物理方法都是以极限概念为基础而延伸出来的，甚至很多的基本概念也是以极限为基础的。极限的研究分为数列极限和函数极限，数列极限反映的是分离变量的趋向性质，函数极限反映的是连续变量的趋向性质。极限的研究中，包括极限的性质，如唯一性，有界性，收敛性等；也包括极限的计算方法，运算法则，并要熟练掌握常见的极限性质。实函数的极限。实函数极限

6、的定义可以用文字描述：一个实函数在其定义域的某一点的空心领域内有定义，如果存在某个正数，当自变量的值与x的差小于这个正数时，其对应的函数值和A的差可以小于某个给定的正数，那么则说这个实函数存在极限。从实函数极限的定义可以看出，其反映的是实数自变量在实函数的变化过程中趋势的性质，当实数自变量趋于某一个值时，对应的实数函数值也趋于某一个值，这就是实函数极限的简单含义。复函数的极限。复函数极限的定义可以用文字描述：一个复函数在其复数定义域内的某一点是聚点，如果存在大于0的数，使得当复函数自变量值与z的差小于整个数

7、时，其对应的复函数值与A小于任意一个给定的正数，那么这个复函数存在极限。复函数极限的定义如果用严格的数学语言描述，是：设函数w=f（z），z∈E（集合），zo为E的聚点，对于复数A，若对任意给定的？着大于0，总存在r大于0，只要0zo）。从复函数极限的定义可以看出，其描述的是复数自变量在复函数的变化过程中趋向的性质，当复数自变量趋于某一个值时，对应的复数函数值也趋于某一个值，这就是复函数极限的简单含义。由上述定义可以看出，实函数和复函数在极限的定义上是相类似的，都是描述当自变量趋向某一值

8、时，函数值的趋向性质。但是，形式上的相似性并不说明含义上的相同性。事实上，复函数极限的定义比实函数极限的定义内容更加丰富。因为复数包括实部和虚部，当自变量趋向某一个复数时，要求实部和虚部必须同时趋向相应的实部和虚部，具有更大的任意性。如果将实数的极限形象的理解为数轴上一维的趋向，那么，复函数的极限则描述的是平面上到一点的趋向。显然，由于比实函数的极限多了一个维度，复函数的极限的趋向方式的任意性更大，可以类比为一个