最新全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析.doc

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1、精品资料全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析........................................精品资料高一数学竞赛训练试题（5）一、填空题（本题满分70分，每小题7分）1．方程的实数解为．2．函数R的单调减区间是.3．在△中，已知，，则＝.4．函数在区间上的最大值是，最小值是．5．在直角坐标系中，已知圆心在原点、半径为的圆与△的边有公共点，其中、、，则的取值范围为．6．设函数的定义域为R，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有个零点.7．四个不同的小球放入编号1、2、3、4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有____种。8．圆环形手镯上等

2、距地镶嵌着颗相同的小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀金银的概率是．9．方程的实数解为：___________．10．设复数列满足，0，且．若对任意N*都有，则的值是．二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11.求使方程＝sinx有实数解的实数a的取值范围．........................................精品资料12．已知整数列满足，，前项依次成等差数列，从第项起依次成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)求出所有的正整数，使得．........................................精品资料13．如

3、图，圆内接五边形中，是外接圆的直径，，垂足.过点作平行于的直线，与直线、分别交于点、．证明：(1)点、、、共圆；(2)四边形是矩形．ABCDEFHG........................................精品资料14．求所有正整数，，使得与都是完全平方数．........................................精品资料2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题满分70分，每小题7分）1．方程的实数解为．提示与答案：x＜0无解;当时，原方程变形为32x+3x－6=0，解得3x=2，x=log32

4、．2．函数R的单调减区间是.提示与答案：与f(x)=y2=1+

5、sin2x

6、的单调减区间相同，Z．........................................精品资料3．在△中，已知，，则＝.提示与答案：，得．4．函数在区间上的最大值是，最小值是．提示与答案：极小值－4，端点函数值f(2)=0，f(0)=－2，最小值－4，最大值0．5．在直角坐标系中，已知圆心在原点、半径为的圆与△的边有公共点，其中、、，则的取值范围为．提示与答案：画图观察，R最小时圆与直线段AC相切，R最大时圆过点B．[，10]．6．设函数的定义域为R，若与都是关于的奇函数，则函数

7、在区间上至少有个零点.提示与答案：f(2k-1)=0，k∈Z.又可作一个函数满足问题中的条件，且的一个零点恰为，k∈Z.所以至少有50个零点.........................................精品资料7．四个不同的小球放入编号1、2、3、4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有____种。分析排列组合中诸如把教师医生分到各所学校；把不同的小球放入盒中等问题都可以归类为分组问题，分组问题解题的原则是：“分组先分堆”．解把4个球分成“2、1、1”三堆，有种分法，把三堆球分别放入四个盒子的任三个中，有种放法，由乘法原理，恰有一个空盒的放法共有·=14

8、4种．说明：本题也可以分类讨论求解，若1号盒空，2号盒放二个球，3、4号盒各放一个球有=12种放法；同理，若1号盒空，3号盒放2个球，2、4号盒各放一个球也是12种放法；1号盒空，4号盒放2个球，2、3号盒各放一个球同样是12种放法。所以，1号盒空共有12×3=36种放法。故满足题设的总放法种数为4×36=144种。8．圆环形手镯上等距地镶嵌着颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀金银的概率是．提示与答案：穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为．9．方程的实数解为：___________．.............................

9、...........精品资料分析这是一个具有对称性的无理方程，可考虑用三角代换去掉根号，化有三角方程求解，由于根号里面为x-1与y-1，故联想公式sec2α-1=tan2α，可进行如下变换：x=sec2α，y=sec2β．解由题意知x>1，y>1，可设x=sec2α，y=sec2β，其中，从而x-1=sec2α-1=tan2α，y-1=sec2β-1=tan2β，原方程可化为：sec2α·tanβ+sec2β·tanα=sec2α·sec2β，即，因此有sinβ·cosβ+sinα·cosα=1，即sin2β+sin2α=2，从而sin