2004年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题及答案

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1、---2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题及答案一.填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上.）（1）设,则的间断点为0.【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的,先用求极限的方法得出的表达式,再讨论的间断点.【详解】显然当时,;当时,,所以,因为故为的间断点.（2）设函数由参数方程确定,则曲线向上凸的取值范围为.【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由定义的求出二阶导数,再由确定的取值范围.【详解】,,令.-------又单调增,在时,。(时，时，曲线凸.)（3）.【分析】

2、利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值.【详解1】.【详解2】.（4）设函数由方程确定,则.【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解.【详解1】在的两边分别对,求偏导,为的函数.,,从而,所以【详解2】令则,,,-------,从而【详解3】利用全微分公式,得即,从而（5）微分方程满足的特解为.【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.【详解1】原方程变形为,先求齐次方程的通解:积分得设为非齐次方程的通解,代入方程得从而,-

3、------积分得,于是非齐次方程的通解为,故所求通解为.【详解2】原方程变形为,由一阶线性方程通解公式得,从而所求的解为.（6）设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则.【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值.【详解1】,,,-------.【详解2】由,得二.选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）（7）把时的无穷小量,,排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是（A）（B）（C）（D）【分析】对与变限

4、积分有关的极限问题，一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.【详解】,即.-------又,即.从而按要求排列的顺序为,故选（B）.（8）设,则（A）是的极值点,但不是曲线的拐点.（B）不是的极值点,但是曲线的拐点.（C）是的极值点,且是曲线的拐点.（D）不是的极值点,也不是曲线的拐点.【分析】求分段函数的极值点与拐点，按要求只需讨论两方,的符号.【详解】,,,从而时,凹,时,凸,于是为拐点.又,时,,从而为极小值点.所以,是极值点,是曲线的拐点,故选（C）.（9）等于（A）.（B）.（C）.（D）【分析】将原极限变型，使

5、其对应一函数在一区间上的积分和式。作变换后,从四个选项中选出正确的.-------【详解】故选（B）.（10）设函数连续,且,则存在,使得（A）在内单调增加.（B）在内单调减小.（C）对任意的有.（D）对任意的有.【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数在附近的局部性质.【详解】由导数的定义知,由极限的性质,,使时,有即时,，时,,故选（C）.-------（11）微分方程的特解形式可设为（A）.（B）.（C）.（D）【分析】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式.【详解】对应齐次方程的特征方程为,特征根为,对而言,因0不是

6、特征根,从而其特解形式可设为对,因为特征根,从而其特解形式可设为从而的特解形式可设为（12）设函数连续,区域,则等于（A）.（B）.（C）.（D）【分析】-------将二重积分化为累次积分的方法是:先画出积分区域的示意图,再选择直角坐标系和极坐标系,并在两种坐标系下化为累次积分.【详解】积分区域见图.在直角坐标系下,故应排除（A）、（B）.在极坐标系下,,,故应选（D）.（13）设是3阶方阵,将的第1列与第2列交换得,再把的第2列加到第3列得,则满足的可逆矩阵为（A）.（B）.（C）.（D）.【分析】根据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系，对

7、题中给出的行（列）变换通过左(右)乘一相应的初等矩阵来实现.【详解】由题意,,,-------从而,故选（D）.（14）设,为满足的任意两个非零矩阵,则必有（A）的列向量组线性相关,的行向量组线性相关.（B）的列向量组线性相关,的列向量组线性相关.（C）的行向量组线性相关,的行向量组线性相关.（D）的行向量组线性相关,的列向量组线性相关.【分析】将写成行矩阵,可讨论列向量组的线性相关性.将写成列矩阵,可讨论行向量组的线性相关性.【详解】设,记（1）由于,所以至少有一(),从而由（1）知,,于是线性相关.又记,则由于,则至少存在一(),使----

8、---,从而线性相关,故应选（A）.三.解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分10分）求极限.