2009年5月30号中国数学哲学委员会与北京大学哲学系在北京...

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1、---2009年5月30号中国数学哲学委员会与北京大学哲学系在北京市密云地区联合举办了关于数学哲学的讨论会。会议主题主要有三个：自然主义数学哲学、数学的直谓基础、自然数的认知主义解释。参加讨论的成员有：刘壮虎、叶峰、周北海、刘晓力、冀建中、程炼、叶闯、王路、许涤非。会议第一阶段：先由叶峰做关于“自然主义数学哲学”的发言。叶峰的主要观点：当代数学哲学研究中有数种“自然主义”的数学哲学，他们同为自然主义，但对抽象数学对象的存在性这一数学本体论问题却得出了不同的结论。通过阐述蒯因、Maddy、Burgess、Papine

2、au不同的自然主义数学哲学的主要观点并且讨论他们各自所面临的问题，叶峰得出了这些问题的根源其实是在于，这些哲学家们都没有明确地回答认知主体是什么这个问题。认识论探讨的是认知主体如何认识事物，对认识论问题的回答显然依赖于对认知主体与认知过程的构成，认知主体有什么认知能力，等等这些问题的回答。对本体论问题的回答也一样依赖于认知主体是什么，因为，假如一个本体论论断所声称存在着的某一类实体，使得认知主体不可能认识到那类实体，或者使得不能有意义地解释主体的认知过程如何认识那一类实体，那么这个本体论论断就是无意义的。对自然主义

3、者来说，认知主体是作为生物进化与个体生长发育的结果的物质性的大脑，认知过程最终是大脑内部的物理过程以及大脑与环境之间相互作用的物理过程，同时也是生物、生理、以及脑神经元活动的过程。如果彻底地坚持认知主体就是物质世界中的某种复杂的物理系统即大脑，那么各种自然主义所面临的问题就或者消失了，或者被转换为关于大脑的科学问题。叶峰所提出的自然主义数学哲学正是这种彻底地自然主义的数学哲学。接下来与会成员对叶峰的发言发表意见并对其提问。主要的问题集中在：叶峰的自然主义数学哲学面临的难题是什么；理论承诺的同一个对象怎样与不同的认知

4、主体相对应，既然认知的物理过程不同一；自然主义能否帮助我们对于“自由意志”-------等问题有更好的解释。刘壮虎提出了这样的见解：对于数学哲学可以在两个层次上谈论：心灵上和大脑上。叶峰的自然主义似乎要把数学哲学的问题分别划归为大脑的神经元的物理活动规律，这看起了很麻烦。我们可以在心灵上讨论关于数学哲学本体论与认识论。似乎应该有一条路，它可以把心灵与大脑做一个整体划归，通过这个整体划归心灵上讨论的问题转化为大脑的认知规律。冀建中说弗雷格在为数学提供逻辑基础时坚决把心理学排除在数学哲学外，她怀疑叶峰的自然主义似乎要添

5、加关于这样的成分。会议第二阶段：许涤非做了关于直谓逻辑分析的研究报告，她试图给出直谓逻辑分析的历史脉络，最后给出费夫曼关于直谓的相对观，并且说明直谓的逻辑分析在数学哲学中的价值。“直谓”研究经历了四个研究阶段，首先是庞加莱提出了数学应该遵循直谓的原则，即“恶性循环原则”，也就是概念的定义不能预设一个总体，而这个总体包含所定义的对象。如果一个概念的引入不依赖于包含此概念的总体就是直谓的，反之就是非直谓的。但是庞加莱本人并未对直谓做逻辑分析。罗素在直谓研究方面的一个很大贡献就是给出了恶性循环原则的形式化的描述：给出了“

6、恶性循环原则”表述为“包含明显变元（约束变元）的任何东西都不能是这些变元的可能值，必须比这些变元的类型高”。罗素的分支类型论就体现了他的直谓研究成果，但是分支类型论由于采纳了还原公理，这条公理本身是非直谓的，这就使得原本要贯彻的直谓基础受到破坏。从这点看，罗素的分支类型论是不成功的。第二阶段是Kreisel根据Kleene等人在递归序数以及超算术理论方面的研究成果，提出了直谓定义原则：给定自然数集，可以直谓定义的集合就是HYP元素。但是如此直谓分析中却隐含着非直谓的成分——良序关系W。如何避开这一点，是60年代直谓

7、分析的核心内容。60年代Kreisel又提出了直谓可证原则。Kleene关心的是对于接受的概念，我们隐含的定义过程是什么。此时Kreisel关心的是对于接受的概念，隐含的证明过程是什么。Kreisel的直谓可证原则是：如果a是直谓序数，RAa（formalsystemoframifiedanalysis）证明了递归集合W是良序关系，b是W序型，那么b也是直谓序数。Feferman与schütte独立证明了按照Kreisel的直谓证明原则，最小的非直谓可证序数是G0。1970年至20世纪末，直谓又被理解为“反思”(r

8、eflection)-------或者“伸展”(unfolding)。这是Feferman关于直谓的主要思想。他认为直谓是一个相对概念，而非绝对概念。例如承认了有穷主义序数概念，就会有与此相关的直谓性；承认集合论的聚合分层（cumulativehierarchy）也会有与此相关的直谓性。因此直谓是一个可运用到不同数学基础立场的概念，这些立场拒绝不同的实无穷论