b样条曲线曲面和nurbs曲线曲1

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1、B样条曲线曲面和NURBS曲线曲面(学习笔记和上机练习)非均匀有理B样条，通常简称为NURBS(Non-UniformRationalB-Splines)。NURBS是非有理B样条、有理以及非有理Bézier曲线曲面的推广。一、要对B样条曲线曲面和NURBS曲线曲面有所了解应先了解B样条基函数B样条基函数的定义和性质令是一个实数列，即≤，i=0,1,…,m-1。其中，称为节点，称为节点矢量，用表示第i个次（+1阶）B样条基函数，其定义为若≤＜值为1，其他值为0(2)由(2)式可知：（1）是一个阶梯函数，它在半开区间外都为零；（2）当

2、＞0时，是两个-1次基函数的线性组合；（3）计算一组基函数时需要事先指定节点矢量和次数；（4）（2）式中可能出现0/0，我们规定0/0=0；（5）是定义在整个实数轴上的分段多项式函数，只在区间上有意义；（6）半开区间称为第i个节点区间，长度可以为零，因相邻节点可以相同；B样条基函数的一些重要性质：1如果，则=0。2对于所有的和，有≥0.3对于任意的节点区间，当时，。4在节点区间内部，是无限次可微的。在节点处是次连续可微的，其中是节点的重复度。5除的情况外，严格的达到一次最大值。B样条基函数的导数基函数的求导公式为（4）根据求导法则，

3、对基函数求导得到一般的求导公式：（5）另一个计算B样条基函数各阶导数的公式（参考[Butt76]）：，…,(6)B样条基函数的一些重要计算a–确定节点()在节点矢量()的区间下标(据区间)//确定参数u所在的节点区间下标//n=m-p-1//m为节点矢量U[]的最大下标//p为B样条函数次数intBuspan(intn,intp,floatu,floatU[]){intlow,high,mid;if(u==U[n+1])//特殊情况returnn;//进行二分搜索low=p;high=n+1;mid=(int)(low+high)/

4、2;while(u

5、

6、u>U[mid]){if(u=U[mid]&&u

7、,floatN[]){floattm1,tm2,TN[100][100];floatleft[100][100],right[100][100];for(intti=0;ti<=i+p;ti++)for(intj=0;j<=p;j++){tm1=U[ti+j]-U[ti];tm2=U[ti+j+1]-U[ti+1];if(tm1!=0)left[ti][j]=(u-U[ti])/tm1;elseleft[ti][j]=0.0;if(tm2!=0)right[ti][j]=(U[ti+j+1]-u)/tm2;elseright[ti]

8、[j]=0.0;if(u>=U[ti]&&u=i-p;t--)for(intk=1;k=i-p;r--)N[r]=left[r][p]*TN[r][p-1]+right[r][p]*TN[r+1][p-1];}c–计算B样条基函数的导数(据

9、(6)式)//计算基函数的1阶导数并保存在NP[]中//i为参数u所在的节点区间下标//p为B样条函数次数P>2voidBNipip(inti,intp,floatu,floatU[],floatNP[]){floattm1,tm2,TN[100][100];floatleft[100][100],right[100][100];for(intti=0;ti<=i+p+1;ti++)for(intj=0;j<=p;j++){tm1=U[ti+j]-U[ti];tm2=U[ti+j+1]-U[ti+1];if(tm1!=0)left[

10、ti][j]=(u-U[ti])/tm1;elseleft[ti][j]=0.0;if(tm2!=0)right[ti][j]=(U[ti+j+1]-u)/tm2;elseright[ti][j]=0.0;if(u>=U[ti]&&u