2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（北京卷，含解析）_105

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1、2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（北京卷，含解析）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：考点：复数运算2.若，满足则的最大值为A．0B．1C．D．2【答案】D【解析】试题分析：如图，先画出可行域，由于，则，令，作直线，在可行域中作平行线，得最优解，此时直线的截距

2、最大，取得最小值2.考点：线性规划；3.执行如图所示的程序框图，输出的结果为A．B．C．D．【答案】B考点：程序框图4.设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：因为，是两个不同的平面，是直线且．若“”，则平面可能相交也可能平行，不能推出，反过来若，，则有，则“”是“”的必要而不充分条件.考点：1.空间直线与平面的位置关系；2.充要条件.5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A．B．C．D．5【答案】C【解析】试题分析：根据

3、三视图恢复成三棱锥，其中平面ABC，取AB棱的中点D，连接CD、PD，有，底面ABC为等腰三角形底边AB上的高CD为2，AD=BD=1,PC=1,,,，,三棱锥表面积.考点：1.三视图；2.三棱锥的表面积.6.设是等差数列.下列结论中正确的是A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法7.如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是A．B．C．D．【答案】C【解析】考点：1.函数图象；2.解不等式.8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效

4、率情况.下列叙述中正确的是A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】【解析】试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80

5、km，消耗8升汽油，C错误，D中某城市机动车最高限速80千米/小时.由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选D.考点：1.函数应用问题；2.对“燃油效率”新定义的理解；3.对图象的理解.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分）9.在的展开式中，的系数为．（用数字作答）【答案】40【解析】试题分析：利用通项公式，，令，得出的系数为考点：二项式定理10.已知双曲线的一条渐近线为，则．【答案】考点：双曲线的几何性质11.在极坐标系中，点到直线的距离为．【答案】1【解析】试题分析：先把点极坐标化

6、为直角坐标，再把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线距离公式.考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.点到直线距离.12.在中，，，，则．【答案】1【解析】试题分析：考点：正弦定理、余弦定理13.在中，点，满足，．若，则；．【答案】【解析】试题分析：特殊化，不妨设，利用坐标法，以A为原点，AB为轴，为轴，建立直角坐标系，，，则，.考点：平面向量14.设函数①若，则的最小值为；②若恰有2个零点，则实数的取值范围是．【答案】(1)1，(2)或.考点：1.函数的图象；2.函数的零点；3.分类讨论思想.三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出

7、文字说明，演算步骤或证明过程）15．（本小题13分）已知函数．(Ⅰ)求的最小正周期；(Ⅱ)求在区间上的最小值．【答案】（1），（2）【解析】试题分析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为形式，再利用周期公式求出周期，第二步由于则可求出，借助正弦函数图象找出在这个范围内当，即时，取得最小值为：.试题解析：(Ⅰ)(1)的最小正周期为；(2)，当时，取得最小值为：考点：1.三角函数式的恒等变形；2.三角函数图像与性质.16.（本小题13分），两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：组：10，11，12，13

8、，14，15，16组：12，13，15，16，17，14，假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．(