阶跃响应冲击响应与卷积积分法

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1、补充第一章阶跃响应冲击响应与卷积积分法电路中除电阻元件外，还包含有电容和电感等动态元件，这样的电路称为动态电路。在动态电路分析中，激励和响应都表示为时间的函数，采用微分方程求解电路和分析电路的方法，称为时域分析法。本章主要讨论一阶电路的阶跃响应、冲激响应、任意输入的零状态响应，以及二阶电路在恒定输入下的零状态响应。§1-1阶跃响应和冲激响应电路的输入除恒定不变的常量（即恒定输入或直流输入）和按正弦规律变动的交流量（即正弦输入）之外，常见的还有另外两种奇异函数，即阶跃函数和冲激函数。本节就来讨论这两种函数的定义、性质及作用于线性动态电路时所引起

2、的响应。单位阶跃函数（unitstepfunction）用来表示，它定义为波形如图1-1（a）所示，在处，由0跃变至1。如果单位阶跃函数的跃变点不是在处，而是在处，波形如图1-1（b）所示，则称它为延迟的单位阶跃函数，用表示，即图1-1单位阶跃函数与任一常量的乘积仍是一个阶跃函数，此时阶跃的幅度为。单位阶跃函数与任一函数的乘积将只保留该函数在阶跃点以后的值，而使阶跃点以前的值变为零，即有因此，单位阶跃函数可以用来“起始”一个任意函数，这给函数的表示带来了方便。例如对于线性函数为常数），由图1-2(a)、(b)、(c)可以清楚地看出、及的不同。

3、图1-2应该指出，函数与是不同的。前者相当于把向后延迟了时间[波形如图1-2(d)所示]，而后者只是在以后才有值。要注意它们的差别。在电路分析中，可以利用单位阶跃函数来表示某些输入波形。例如对图1-3(a)中的波形，可以看做是图(b)中两个单位阶跃函数的波形合成的结果，从而有图1-3同理，可将图1-4(a)和(b)中的波形分别表示成图1-4单位阶跃函数还可以用来“模拟”电路中的开关动作。例如图1-5(a)中电路的输入为，其含义与图1-5(b)中的开关动作是一样的，即时RC电路被短接，输入为零；时RC电路被接到电压源上。与此类似，图1-6(a)

4、中电路的输入为，其含义与图1-6(b)中的换路也是一样的，即在时RL电路与电流源没有接通，输入为零；而在时，RL电路才被接到电流源上。图1-5图1-6当电路的输入为（单位）阶跃函数时，相应的响应称为（单位）阶跃响应。应该指出的是，如果电路仅有阶跃输入，则因为换路前输入为零，故其初状态必为零。因此电路的（单位）阶跃响应是在（单位）阶跃输入作用下的零状态响应。例1-1求单位阶跃电流源作用于RC并联电路时的响应（电路如图1-7所示）。图1-7解时由于输入为零，故时换路，换路后1A电流源作用于电路，可用三要素法分析如下故考虑到时，故所求响应亦可写作而

5、不必再另行标注时间域了。如将上例中的输入改为延迟的单位阶跃函数，则响应也应延迟，变为若把上例中的输入改为，则根据零状态响应的线性性质，其响应将变为综上所述，如果把某电路对单位阶跃输入的响应记做，则该电路对延迟时刻的单位阶跃输入的响应为，而对输入为的响应为。例1-2求单位阶跃电压源作用于RC串联电路时的响应（电路如图1-8所示）。图1-8解时，输入为零，后，1V电压源作用于电路，所求响应的三要素分别为故例1-3图1-9(a)所示电路中输入的波形如图1-9(b)所示。求。图1-9解由例1-2知，所求电容电压的单位阶跃响应为今输入可用单位阶跃函数表

6、示为根据线性电路的叠加性质和零状态响应的线性性质，可由直接写出此时所求的响应为该例也可看做二次换路问题，如图1-9(c)所示，可用三要素法分时间段求得结果如下两种解法所得结果表面看起来似不一致，但实际上是一样的：在时，前一种结果中的第二项为零，故两结果相同；在时，前一种结果中的两项均不为零，经变换与后一种结果仍然是相同的，即下面介绍单位冲激函数（unitimpulsefunction）。在引出单位冲激函数之前，先介绍一个矩形脉冲函数（pulsefunction），其定义如下由定义可得的波形如图1-10所示，它表示一个宽度为，高度为的矩形脉冲。

7、由于这一脉冲所围的面积——称做脉冲的强度——为1，故又称为单位脉冲函数（unitpulsefunction）。单位脉冲函数的特点是，脉冲宽度越小，脉冲高度越大，但脉冲所围面积即脉冲强度始终为1，保持不变，如图1-10中所示。当时，将会得到一个宽度为零、高度无限而面积为1的特殊脉冲，我们称此特殊脉冲为单位冲激，记做，即图1-10根据以上的介绍，我们可以给单位冲激函数正式定义如下因为在时，而当时，，所以单位冲激函数不是普通意义下的函数，而是一种奇异函数（singularfunction），其图形表示如图1-11(a)所示。箭头旁注明1表示其强度为

8、1。如果单位冲激函数不是在时出现，而是在时出现，则称之为延迟的单位冲激函数，记做，其图形表示如图1-11(b)。如果冲激函数的强度不是1而是K，则用或表示，其图形表