浅谈导数在经济中的应用

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1、浅谈导数在经济中的应用【摘文章要】导数在经济领域中的应用非常广泛，特别是在微观经济学中有很多具体的例子。掌握导数的基本概念和经济中常见函数的概念非常重要，把经济学中很多现象进行分析，归纳到数学领域中，用我们所学的数学知识进行解答，对很多经营决策者起了非常重要的作用。【关键词】导数；变化率；边际；边际分析高等数学的主要内容是微积分，微分学则是微积分的重要组成部分，而导数又是微分学中的基本概念之一，所以学习导数的概念并熟练掌握导数的应用尤为重要。导数的应用范围颇为广泛，比如在物理学中的应用，在工程技术上的

2、应用，在经济学中的应用等等，今天我们就导数在经济中的应用略做讨论。一、导数的概念从数量关系而言，导数反映函数的自变量在变化时，相应的函数值变化的快慢程度变化率（瞬时变化率）。从数学表达式而言，研究的是函数的增量与自变量的增量比的极限问题。函数y=f(x)在某一点x0的导数表达式如下：若函数y=f(x)在某区间内每一点都可导，则称y=f(x)在该区间内可导，记f′(x)为y=f(x)在该区间内的可导函数（简称导数），表达式如下：二、经济中常用的函数导数在经济领域中的应用，主要是研究在这一领域

3、中出现的一些函数关系，因此必须了解一些经济分析中常见的函数。（一）价格函数一般说来，价格是销售量的函数。生活中随处可见，买的东西越多，消费者砍价的幅度就可以大些。例如：某批发站批发1000只杯子给零售商，批发定价是20元，若批发商每次多批发200只杯子，相应的批发价格就降低1元，现在批发站杯子的存货只有2000只，最小的销量是1000只，求价格函数。（二）需求函数作为市场上的一种商品，其需求量受到很多因素影响，如商品的市场价格、消费者的喜好等.为了便于讨论，我们先不考虑其他因素，假设商品的需求量仅受市

4、场价格的影响。即q=f(p)其q中表示商品需求量，p表示商品市场价格。例如：某厂家从促进消费的需求考虑，对某空调的价格从3000元/台降到2500元/台，相应的需求量从3000台增到5000台，求需求函数。（三）成本函数成本包括固定成本和变动成本两类.固定成本是指厂房、设备等固定资产的折旧、管理者的固定工资等，记为c0。变动成本是指原材料的费用、工人的工资等，记为c1。这两类成本的总和称为总成本，记为c，即c=c0+c1假设固定成本不变（c0为常数），变动成本是产量q的函数（c1=c1（q)），则成本

5、函数为c=c（q)=c0+c1（q)。（四）收益函数在商业活动中，一定时期内的收益，就是指商品售出后的收入，记为r.销售某商品的总收入取决于该商品的销售量和价格。因此，收入函数为r=pq其中q表示销售量，p表示价格。（五）利润函数利润是指收入扣除成本后的剩余部分，记为l.l=r-c其中r表示收入，c表示成本。总收入减去变动成本称为毛利润，再减去固定成本称为纯利润。三、导数在经济分析中的应用举例导数是函数关于自变量的变化率，在经济学中，也存在变化率的问题，因此我们可以把微观经济学中的很多问题归结到数学中

6、来，用我们所学的导数知识加以研究并解决。在此我们就经济学中的边际和边际分析问题加以稍作讨论。边际概念表示当x的改变量△x趋于0时y的相应改变量△y与△x的比值的变化，即当x在某一给定值附近有微小变化时y的瞬时变化。若设某经济指标y与影响指标值的因素x之间成立函数关系式y=f(x)，则称导数f′(x)为f(x)的边际函数，记作my。随着y，x含义不同，边际函数的含义也不一样。设生产某产品q单位时所需要的总成本函数为c=c(q)，则称mc=c′(q)为边际成本。边际成本的经济含义是

7、：当产量为q时，再生产一个单位产品所增加的总成本为c′(q)。类似可定义其它概念，如边际收入，边际产量，边际利润，边际销量等等。经济活动的目的，除了考虑社会效益，对于一个具体的公司，决策者更多的是考虑经营的成果，如何降低成本，提高利润等问题。例1某种产品的总成本c（万元）与产量q（万件）之间的函数关系式（即总成本函数）为c=c(q)=100+4q-0.2q2+0.01q3求生产水平为q=10（万件）时的平均成本和边际成本，并从降低成本角度看，继续提高产量是否合适？解当q=10时的总成本为c

8、(10)=100+410-0.2102+0.01103=130（万元）所以平均成本（单位成本）为c(10)÷10=130÷10=13（元/件）边际成本mc=c′(q)=4-0.4q+0.03q2mc│q=10=4-0.410+0.03102=3（元/件）因此在生产水平为10万件时，每增加一个产品总成本增加3元，远低于当前的单位成本，从降低成本角度看，应该继续提高产量。例2某公司总利润l（万元）与日产量q（吨）之间的