7.4实数完备性的等价命题

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1、《数学分析》教案第七章实数的完备性实数完备性的等价命题一、问题提出　　确界存在定理(定理1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性.与之等价的还有五大命题，这就是以下的定理1.2至定理1.6．　　定理1.2(单调有界定理)　任何单调有界数列必定收敛．　　定理1.3(区间套定理）　设为一区间套：　　　　．则存在唯一一点　　定理1.4(有限覆盖定理)　设是闭区间的一个无限开覆盖，即中每一点都含于中至少一个开区间内．则在中必存在有限个开区间，它们构成的一个有限开覆盖．　　定理1.5(聚点定理)　直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于，也可以不属于

2、）．　　定理1.6(柯西准则)　数列收敛的充要条件是：，只要 恒有．（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．）　　这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性，使大家熟悉使用这些理论工具．　　下图中有三种不同的箭头，其含义如下：：(1)～(3)基本要求类：(4)～(7)阅读参考类：(8)～(10)习题作业类7《数学分析》教案第七章实数的完备性下面来完成(1)～(7)的证明．二、等价命题证明(一)用确界定理证明单调有界定理.(二)用单调有界定理证明区间套定理设区间

3、套．　　若另有使　，则因．　　推论设为一区间套，．则当时，恒有．7《数学分析》教案第七章实数的完备性用区间套定理证明其他命题时，最后常会用到这个推论．(三)用区间套定理证明确界原理证明思想构造一个区间套，使其公共点即为数集的上确界．　　设,有上界．取；，再令如此无限进行下去，得一区间套．　　可证：因恒为的上界，且，故，必有，这说明是的上界；又因，故，而都不是的上界，因此更不是的上界．所以成立．*(四)用区间套定理证明有限覆盖定理设为闭区间的一个无限开覆盖．反证法假设：　　“不能用中有限个开区间来覆盖”．　　对采用逐次二等分法构造区间套，的选择法则：取“不能用中有限个开区间来覆盖”的那一半．

4、由区间套定理，．导出矛盾：使.记由［推论］，当足够大时，　　　　　　　这表示用中一个开区间就能覆盖，与其选择法则相违背．所以必能用中有限个开区间来覆盖.7《数学分析》教案第七章实数的完备性说明当改为时，或者不是开覆盖时，有限覆盖定理的结论不一定成立.例如：　　1)　．是开区间的一个无限开覆盖，但不能由此产生的有限覆盖．　　2)　．是的一个无限覆盖，但不是开覆盖，由此也无法产生的有限覆盖．*(五)用有限覆盖定理证明聚点定理设为实轴上的有界无限点集，并设．　　　由反证法假设来构造的一个无限开覆盖：若有聚点，则．现反设中任一点都不是的聚点，即在内至多只有．这样，　　　　就是的一个无限开覆盖．　　

5、　用有限覆盖定理导出矛盾：据定理9，存在　　　　　为的一个有限开覆盖（同时也覆盖了）．由假设，内至多只有所属个邻域内至多只有属于（即只覆盖了中有限个点）．这与覆盖了全部中无限多个点相矛盾．　　所以，有界无限点集必定至少有一个聚点．［　　推论（致密性定理）有界数列必有收敛子列．即若为有界数列，则使有．子列的极限称为原数列的一个极限点，或称聚点.7《数学分析》教案第七章实数的完备性数列的聚点与一般点集的聚点，含义稍有不同．数列的聚点定义为：“，在内含有中无限多个项，则为的一个聚点．”在此意义下，对于数列　　它有两个收敛子列:和，　．它们的极限和就是的两个聚点．*(六)用聚点定理证明柯西准则　柯

6、西准则的必要性容易由数列收敛的定义直接证得.（已知收敛，设．由定义，，当时，有．从而有．）这里只证其充分性．　　已知条件：　当时．欲证收敛．　　．首先证有界．对于当时，有　　　　　　令，则有　　　　　　　　　　　．　　．由致密性定理，存在收敛子列，设．　　．最后证，由条件，当时，有　　　　．于是当（同时有）时，就有7《数学分析》教案第七章实数的完备性　　　　　．*(七)用柯西准则证明单调有界原理设为一递增且有上界M的数列．用反证法（借助柯西准则）可以证明：倘若无极限，则可找到一个子列以为广义极限，从而与有上界相矛盾．现在来构造这样的．　　对于单调数列，柯西条件可改述为：“当时，满足”．这是

7、因为它同时保证了对一切，恒有．　　倘若不收敛，由上述柯西条件的否定陈述：，对一切，，使．依次取把它们相加,得到．故当时，可使，矛盾．所以单调有界数列必定有极限．[证毕]　　在以上六个等价命题中，最便于推广至中点集的，当属聚点定理与有限覆盖定理．为加深对聚点概念的认识，下例所讨论的问题是很有意义的．　　例证明“是点集的聚点”的以下三个定义互相等价：7《数学分析》教案第七章实数的完备性　　(i)内含有中无限多个点(原始定义)