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1、第一章量子力学的诞生[1]在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明：(l）长l=lm，质量M=1kg的单摆的零点振荡的振幅；(2）质量M=5g，以速度10cm/s向一刚性障碍物（高5cm，宽1cm）运动的子弹的透射率；(3）质量M=0.1kg，以速度0.5m/s运动的钢球被尺寸为1×1.5m2时的窗子所衍射．[2]用h,e,c,m（电子质量）,M（质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计：(1）玻尔半径（cm);(2）氢原子结合能（eV);(3）玻尔磁子；(4）电子的康普顿波长（cm);(5）经典电子半径（cm);(6）电子静止
2、能量（MeV);(7）质子静止能量(MeV);(8）精细结构常数；(9）典型的氢原子精细结构分裂[3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内，(1）电子的汤姆逊截面；(2）氢原子的电离能；(3）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；(4）37Li(z=3）核的磁偶极矩；(5）质子和中子质量差；(6)4He核的束缚能；(7）最大稳定核的半径；(8）Π0介子的寿命；(9）Π-介子的寿命；(10）自由中子的寿命．[4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由．(1）光电效
3、应；(2）黑体辐射谱；(3)Franck–Hertz实验；(4)Davisson-Ger-mer实验；(5)Compton散射．[5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A、B两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释．(1)A缝开启，B缝关闭；(2)B缝开启，A缝关闭；(3）两缝均开启．[6]验算三个系数数值：（1）；（2）；（3）hc第二章：函数与波动方程[1]试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能](解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld
4、的量子化条件式:在量子化条件中,令为振子动量,为振子坐标,设总能量E则代入公式得:量子化条件的积分指一个周期内的位移,可看作振幅的四倍,要决定振幅,注意在A或B点动能为0,,(1)改写为:(2)积分得:遍乘得[乙法]也是利用量子化条件,大积分变量用时间而不用位移,按题意振动角频率为,直接写出位移,用的项表示:求微分:(4)求积分:(5)将(4)(5)代量子化条件:T是振动周期,T=,求出积分,得正整数#[2]一维运动的粒子处在的状态，其中，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子动量的平均值。[解]首先将归一化，求归一化系数A。（1）动量的几率分布函数是
5、注意到中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有令代入上式得（2）动量p的平均值的结果从物理上看是显然的，因为对本题说来，粒子动量是和是的几率是相同的。讨论：①一维的傅里叶变换的系数是而不是。②傅里叶变换式中的t可看成参变量。因此，当原来坐标空间的波函数不含时间变量时，即相当于的情况，变换式的形式保持不变。③不难证明，若是归一化的，则经傅里叶变换得到也是归一化的。[3]平面转子的转动惯量为,求能量允许值.(解)解释题意:平面转子是个转动体,它的位置由一坐标（例如转角）决定,它的运动是一种刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转.按刚体力学,转子的角动量
6、,但是角速度,能量是利用量子化条件,将理解成为角动量,理解成转角,一个周期内的运动理解成旋转一周,则有(1)说明是量子化的(……..)(2)代入能量公式,得能量量子化公式:(3)#[4]有一带电荷质量的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径是,线速度是,用高斯制单位，洛伦兹与向心力平衡条件是:(1)又利用量子化条件,令电荷角动量转角(2)即(3)由(1)(2)求得电荷动能=再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能=,是电荷的旋转频率,,代入前式得运动电荷的磁势能=(符
7、号是正的)点电荷的总能量=动能+磁势能=E=()#[5]对高速运动的粒子(静质量)的能量和动量由下式给出:(1)(2)试根据哈密顿量(3)及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.(解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组:,本题中,,因而(4)从前式解出(用表示)即得到(2).又若将(2)代入(3),就可得到(1)式.其次求粒子速度和它的物质波的群速度间的关系.运用德氏的假设:于(3)式右方,又用于(3)式左方,遍除:按照波包理论，波包群速度是角频率丢波数的一阶导数：=最后一式按照（4）式等于粒子速度
8、，因而。又按一般的波动理论，波的相速度是由下式规定（
