划艇比赛成绩的模型

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1、2021/7/122.5数学模型1首先我们一起来欣赏一组图片单人艇比赛过程图12021/7/122.5数学模型2单人艇比赛过程图22021/7/122.5数学模型3双人艇比赛过程图32021/7/122.5数学模型4双人艇比赛过程图42021/7/122.5数学模型5四人艇比赛过程图52021/7/122.5数学模型6八人艇比赛过程图6返回2021/7/122.5数学模型72.5划艇比赛的成绩赛艇是一种靠桨手前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种.各种艇虽大小不同，但形状相似.T.A.McMahon比较了各种赛艇1964—1970年四次2000m比赛的最好成绩(包

2、括1964年和1968年的两次奥运会和两次世界锦标赛)，见表5第1至6列，发现它们之间有相当一致的差别，他认为比赛成绩与桨手数量之间存在着某种联系，于是建立了一个模型来解释这种关系.2021/7/122.5数学模型8表5各种艇的比赛成绩和规格艇种2000m成绩t(min)艇长l(m)艇宽b(m)l/b艇重w0(kg)桨手数n1234平均单人7.167.257.287.177.217.930.29327.016.3双人6.876.926.956.776.889.760.35627.413.6四人6.336.426.486.136.3211.750.57421.018.1八人5

3、.875.925.825.735.8418.280.61030.014.7返回2021/7/122.5数学模型9问题的提出由于各种艇虽大小不同，但形状相似。比较各种赛艇1964—1970年四次2000m比赛的最好成绩，发现它们之间有相当一致的差别。提出：比赛成绩与桨手数量之间存在着某种联系？？？（到底什么联系呢？）2021/7/122.5数学模型10问题分析赛艇前进时受到的阻力主要是艇浸没部分与水之间的摩擦力.艇靠桨手的力量克服阻力保持一定的速度前进桨手越多划艇前进的动力越大。但是艇和桨手总重量的增加会使艇浸没面积加大，于是阻力加大，增加的阻力将抵消一部分增加的动力.建模目

4、的是寻求桨手数量与比赛成绩(航行一定距离所需时间)之间的数量规律.如果假设艇速在整个赛程中保持不变，那么只需构造一个静态模型，使问题简化为建立桨手数量与艇速之间的关系．注意到在实际比赛中桨手在极短的时间内使艇加速到最大速度，然后把这个速度保持到终点，那么上述假设也是合理的.2021/7/122.5数学模型11问题分析前进阻力~浸没部分与水的摩擦力前进动力~浆手的划浆功率分析赛艇速度与浆手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定划浆功率赛艇速度赛艇速度前进动力前进阻力浆手数量艇重浸没面积对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定运用合适的物理定律建立模型2021/7/

5、122.5数学模型12我们进一步分析为了分析所受阻力的情况，调查了各种艇的几何尺寸和重量，表5第7至10列给出了这些数据.可以看出，桨手数n增加时，艇的尺寸l,b及艇重w0都随之增加，但比值l/b和w0/n变化不大．若假定l/b是常数，即各种艇的形状一样，则可得到艇浸没面积与排水体积之间的关系.若假定w0/n是常数，则可得到艇和桨手的总重量与桨手数之间的关系.此外还需对桨手体重、划桨功率、阻力与艇速的关系等方面作出简化且合理的假定，才能运用合适的物理定律建立需要的模型.2021/7/122.5数学模型13模型假设1.各种艇的几何形状相同，l/b为常数；艇重w0与桨手数n成正

6、比.这是艇的静态特性.2.艇速v是常数，前进时受的阻力f与sv2成正比(s是艇浸没部分面积).这是艇的动态特性.3.所有桨手的体重都相同，记作w;在比赛中每个桨手的划桨功率p保持不变，且p与w成正比．返回2021/7/122.5数学模型14模型假设分析假设1是根据所给数据作出的必要且合理的简化.根据物理学的知识，运动速度中等大小的物体所受阻力f符合假设2中f与sv2成正比的情况.假设3中w,p为常数属于必要的简化，而p与w成正比可解释为：p与肌肉体积、肺的体积成正比，对于身材匀称的运动员，肌肉、肺的体积与体重w成正比.2021/7/122.5数学模型15模型构成·有n名桨手

7、的艇的总功率np与阻力f和速度v的乘积成正比，即np∝fv(1)由假设2,3，f∝sv2,p∝w代人(1)式可得v∝(n/s)1/3(2)由假设1，各种艇几何形状相同，若艇浸没面积s与艇的某特征尺寸c的平方成正比(s∝c2)，则艇排水体积A必与c的立方成正比(A∝c3)，于是有s∝A2/3(3)2021/7/122.5数学模型16模型构成又根据艇重w0与桨手数n成正比，所以艇和桨手的总重量w'=w0+nw也与n成正比，即w'∝n(4)而由阿基米德定律，艇排水体积A与总重量w'成正比，即A∝w'(5)(3),(4),