反常积分与含参变量的积分

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1、第十二章反常积分与含参变量的积分§12.1.无穷积分一、无穷积分收敛和发散概念实例：设地球的质量为M，地球的半径为R.若火箭距离地心为，则将质量为m的火箭，从地面发射到距离地心为b处，§8.5例21给出了火箭克服地球引力所作的功为了使火箭脱离地球的引力范围，即，火箭克服地球引力F所作的功定义设函数在区间（或有定义，符号（或）称为函数的无穷积分.设函数在［a,p］可积，若极限存在（不存在），则称无穷积分收敛（发散），其极限称为无穷积分（的值），即.设函数在［q,b］可积，若极限存在（不存在），则称无穷积分收敛（发散），其极限称为无穷积分（的值），即.若，两个无穷积分

2、与8都收敛（至少由一个发散），则称无穷积分收敛（发散），且.显然，火箭脱离地球引力所作的功是函数的无穷积分，即例1.求下列无穷积分.解：例2.求下列无穷积分；；.解：..＝.若函数在区间存在原函数，则其中符号例3.判别无穷积分的敛散性解：当有8当有于是，当时，无穷积分收敛，无穷积分的值是；当时，无穷积分发散例4.判别无穷积分的敛散性.解：当，有当，有二、无穷积分与级数上述三种形式的无穷积分：其中，于是，讨论三种形式的无穷积分的敛散性只须讨论无穷积分的敛散性即可.观察下表：收敛收敛发散发散无穷积分与广义调和级数，对都收敛，对都发散.这说明无穷积分与级数之间存在着内在

3、的联系.定理1.无穷积分收敛对任意数列有而，级数8收敛于同一个数，且.证明：必要性已知无穷积分收敛，即.充分性已知对任意数列，而时，级数收敛于同一个数，根据海涅极限定理，无穷积分收敛，且.三、无穷积分的性质假设函数在区间有定义，且，函数在可积.由无穷积分定义，无穷积分收敛当时，函数存在极限.定理2（柯西收敛准则）无穷积分收敛有.推论1.若无穷积分收敛，则.证明：根据定理2，有令，即或推论2若无穷积分收敛，则无穷积分也收敛.证明：根据定理2有从而，有，8即无穷积分收敛.推论3.无穷积分收敛，无穷积分也收敛定理3.无穷积分收敛，则无穷积分也收敛，其中c是常数，且.定理

4、4.若无穷积分与都收敛，则无穷积分也收敛，且.定理5.若函数与在区间存在连续导数，极限存在，且无穷积分收敛，则无穷积分也收敛，有.或这是无穷积分的分部积分公式.定理6.若函数在在区间连续，无穷积分收敛，且函数在严格增加，存在连续导数，而，则＝.这是无穷积分的换元公式.例5.求无穷积分.解：根据定理5，有＝有，或，即.例6.求无穷积分.8解：设，根据定理6，有＝.另解：.（凑微分法）四、无穷积分的敛散性判别法定理7.设有.1）若无穷积分收敛，则无穷积分也收敛；2）若无穷积分发散，则无穷积分也发散.推论设，且极限.（3）1）若则无穷积分收敛.2）若则无穷积分发散.★说

5、明：应用此推论判别某些无穷积分的敛散性比较简便，但要注意观察被积函数，从中找出合适的（利用无穷小阶的比较），使（3）式的极限存在，然后再由数确定无穷积分的敛散性.例7.判别无穷积分的敛散性解：已知有.由例1知，无穷积分收敛，根据定理7，无穷积分收敛，再根据定理2的推论3，无穷积分也收敛.例8.判别无穷积分的敛散性.解：已知极限，8其中则无穷积分发散.例9.判别无穷积分的敛散性解：已知有，又，其中，则无穷积分收敛，根据定理2的推论2，无穷积分也收敛.例10.判别无穷积分的敛散性（是参数）。解：已知有极限，其中，则无穷积分都收敛.定义若无穷积分收敛，则称无穷积分绝对收

6、敛.定义若无穷积分收敛，而发散，则称无穷积分条件收敛.定理8.若函数在连续且函数在有界，即有，则当时，无穷积分收敛.例11.证明：无穷积分条件收敛证明：在被积函数没有定义，已知，将函数在0作连续开拓，当时，令=1，于是被积函数在区间连续首先，证明无穷积分收敛已知函数在区间连续，有8根据定理8，无穷积分收敛，从而，无穷积分也收敛其次，证明无穷积分发散已知，从而，，有以上右端无穷积分收敛，而无穷积分发散，根据定理7，无穷积分发散，从而无穷积分也发散，于是，无穷积分条件收敛例12.讨论无穷积分与的敛散性解：设有已知函数在连续，有根据定理8，无穷积分收敛且条件收敛）即无穷

7、积分收敛（条件收敛）同法可证也收敛（条件收敛）8