§3.2厄米算符(讲稿)

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1、13§3.2厄米算符§3.2厄米算符　　设为厄米算符，其本征问题的解可分为分立谱和连续谱两种情况。分立谱：，例如无限深方势阱中粒子的哈密顿量为厄米算符，本征值问题的解为连续谱：例如动量是厄米算符，本征值问题的解为13§3.2厄米算符一、厄米算符的本征值为实数以连续谱为例证明因为厄米算符，则二、厄米算符的本征波函数正交分立谱：，当；连续谱：，当．　以连续谱为例证明因为厄米算符，则13§3.2厄米算符所以，当．如果把本征波函数归一化或归格化到函数，那么厄米算符的本征波函数就构成一个正交、归一的函数系分立谱：连续

2、谱：三、本征波函数构成完备集合1、分立谱情况13§3.2厄米算符可以证明：对于分立谱情况，厄米算符的本征波函数构成完备的函数系。设为厄米算符任何一个满足适当边界条件和连续性要求的波函数，均可作向展开展开系数按下式计算：为证明上式，只要用与展开式两边作内积综上所述：厄米算符的本征波函数构成一个正交、归一、完备的函数系。m正交、归一、完备的函数系¾基底矢量代数中的基底：m展开系数¾态矢在基矢上的投影13§3.2厄米算符¾矢量在基矢上的投影m集合¾态矢在基底上的表示¾在基底上的表示m用展开系数表示态的归一化证明：

3、模方¾态中包括的百分比m用展开系数表示在态上的平均值证明：13§3.2厄米算符模方¾在态上测量所得结果中出现的概率展开系数¾概率幅概率幅的集合¾态在表象上的表示其实，概率幅¾在坐标表象上的表示而已！合理的假定：在任意状态上对力学量进行测量，所有可能出现的测量值都是该力学量的本征值。由表达的力学量在态上的平均值用展开系数表示为13§3.2厄米算符[例题1]证明§1.3列出的定态特征（3）：在定态上，任何不显含时间的力学量的测量值的概率分布不随时间变化。设定态为力学量的本征函数系为把定态中的向展开在定态上测量得

4、到的测值为的概率为显然不随时间变化。13§3.2厄米算符[思考]如果不是定态，例如那么在上的测量值的概率分布如何随时间变化?m封闭关系本征函数系的完备性用封闭关系表示因为，如果完备，则对任意态都有展开式代入因态任意，则有封闭关系13§3.2厄米算符2、连续谱情况在连续谱情况下，要证明一个算符的本征函数系是否完备，有时是很困难的。但经常用到的坐标和动量算符的本征函数系都是完备的。下面列出的是分立谱和连续谱情况的对照表。对照分立谱情况，容易推导连续谱情况的计算公式（课下推导）。13§3.2厄米算符分立谱和连续谱

5、对照表分立谱连续谱本征方程正交归一封闭关系展开式展开系数归一化平均值测量值概率13§3.2厄米算符（1）坐标本征方程：本征值为的本征波函数：因为:正交归一化条件：封闭关系：完备性，任何波函数都可以向“展开”：（2）动量因为动量算符的本征函数系是定义在整条实轴上的平面波，作为Fourier变换的基底，其完备性是显然的。13§3.2厄米算符四、简并若本征问题的解为一个本征值对应一组线性无关的波函数本征值¾度简并波函数¾简并波函数当时，但当时？简并波函数集合中的波函数不一定正交。[例题2]设两个态函数和不正交，试

6、由它们构造两个正交的态函数和．13§3.2厄米算符用代表在上的投影由和构造容易验证．一、量子力学的基本假设1、物理体系的状态由希尔伯特空间中的态矢量描述，体系的每一个力学量由对这些态矢量作用的线性厄米算符表达。2、在任意状态上，对力学量进行足够多次测量，所有可能出现的测量值都是的本征值，所得结果的平均值为．3、波函数随时间的演化满足薛定格方程。4、全同粒子的全同性假设（第四章讨论）。