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1、Heisenberg群上不变微分算子的特征值问题第13卷第1期1997:90—93纯粹数学与应用数学P"andAppliedMathematicsV0f.13No.1l997190—93Heisenberg群上不变微分算子的特征值问题r79fLt钮鹏程-(西北工业大学应用教学系,西安.710072)张吉慧(兰州大辜数学系,兰730000)摘要讨论jHeisenberg群圩.上一类不变微分算子P一∑嘶L的离散特征值的存在性.这里a>0,=0,1,…,m,m≥2.L为日上的sub—Laplace算子.我们通过建立向tt场的Poincare型不等式,结合Friedri
2、chs对欧氏空间上Laplace算亍的方法,得到j存在性结果.O1变75托生存在性群分类号.9.',)D,frj萆一1引言.'关于Heisenberg群上不变微分算子的可解性和亚椭圆性,已有许多着名的工作.本文感兴趣于一类不变微分算子的特征值的存在性问蘑.Heisenberg群H.上的sub—Laplace算子是指L一一∑(;+y;),其中一矗+YJ,Y一一考,使得[x,,Yj]一一=一,=1,…,一.我们考虑由工构成的高阶算子P一∑n(1)这里m≥2,嘶>o(1:o,l,…,m).设D为中一个有界域,具光滑边界.本文的主要结果是定理算子(1)存在离散特征值,且在
3、实轴的任意有界域上只有有限个特征值.若把特征值从小到大排列成{凡)(按重数重复排列),就有0<^t≤^≤…≤≤…,且一(当m一..时).'丰文收到日期:1996一O1—23—90一'第13卷纯粹数学与应用数学第l期2定理的证明为证明定理.先给出两个已知的关于上的不等式.Kohn不等式(参见文E24):存在C>0,使(",)≤l『lli≤C(Lu,),V∈c(D).(2.1)以及Folland—Stein不等式(参见文[1]):存在C>0,使∑(."1_-llY,X)≤Cz(1lLl+ll"l),】≤I,J≤V"∈c7(D),(2.2)其中lf?表示?l
4、..由于"}l.一0一Y+YjXfl≤2(1lYjl4-lYiX.),
5、1丁"≤2∑(IJ,"Il+llYjXl),】及(2.2),有ll≤c(I工"l+l".(2?3)引理1对任意数>0,均存在函数(^),…,儡(^),使得l1"11≤∑1(讳,")1+(Pu,").V"∈H(D).(2.4)r—l证明首先设"∈C(D).第一步由于D为有界域,故总存在一个长方体n.记0的各边长分别为n,2n+】…,+,d=(∑.】1.0的体积为lnd…口….以iDI记D的体积f(l,…,zr,+】,…,,Y1,….,z),1≤≤叫=(zI,…,,Y1,…,,一l,…,,f),n
6、+1≤≤2n【(l,…,,Y】,…,,),y一2n+1.叫≤砉-++~7iZdr/j+az,-tfl二lau≤砉-+砉差+f-由嘉一x一警丁",得ll≤2(Ilz+—I了1":)≤2<IXjz+鼍产I"l)+]997年钮鹏程等Heisenberg群上不变微分算子的特征值问题5月"卜"(j=laj(+每I?1,+~oa丝.tJ譬.m+,ard+】J.喜者2d$i++y=1a,+]一J.….…'.mJ."[f].两边关于,Y,1和x,,r积分,得2n2(1≤酬D砉[』.+』l2]+101f1丁+dz》力1『)丁"1:≤(叫[善(l+lyJ"十iT"门这里()=max(
7、2d,nd'+d).利用(2.3)式.LII.≤I(1,)l+M(d)I(L,")+-~C2(L"")+詈",")]≤面1』(1,")』+C(d)(Pu,"),这里用到了L是正算子的性质.第二步将0的每个边长等分成份,并将上面得到的不等式的方法用于等分后的.每个小长方体,让:1在nD内,一0在外,则有I≤+c((毗.注意n3D.故ln5≥lD1.将上述不等式关于作和:≤蓦cc手….取—D一(}),一(c(鲁){DI)i1郫,便得训".≤∑i(,")I+(Pu,).当一..时,^一..,故对"∈(D)结论得证.生4卜M≤八代●lI?l第13卷纯粹数学与应用数学第1期对∈H
8、8(D),利用c(D)在H;(D)中的稠密性,知上述结论也成立.定理的证明从引理1可得离散特征值的存在性(参见K.0.Friedrichs中的方法).一0不能是P的特征值.事实上,若存在非零函数,使Pu一0,即嘶(Uu,,=tl)一0.由P的系数均大于0,故(Lu,")一0.从(2.1)知=0在工中.矛盾.注本文的结果包括了文E43的结论.致谢本文得到罗学渡教授的有益指点,作者向他表示衷心的感谢.参考文献1Folland,G.B.,Stein,E.M.,Estimatesforthe一complexandanalysisontheHeis
