一轮复习配套讲义第12篇第5讲复数

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1、第5讲　复　数[最新考纲]1．理解复数的基本概念．2．理解复数相等的充要条件．3．了解复数的代数表示法及其几何意义．4．会进行复数代数形式的四则运算．5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.知识梳理1．复数的有关概念(1)复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a

2、＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作

3、z

4、或

5、a＋bi

6、，即

7、z

8、＝

9、a＋bi

10、＝.2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c

11、)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．辨析感悟1．对复数概念的理解(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(×)(2)2i比i大．(×)(3)(教材习题改编)复数1－i的实部是1，虚部是－i.(×)2．对复数几何意义的认识(4)原点是实轴与虚轴的交点．(√)(5)复数的模

12、实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√)(6)(2013·福建卷改编)已知复数z的共复轭复数＝1＋2i，则z在复平面内对应的点位于第三象限．(×)3．对复数四则运算的理解(7)(教材习题改编)＝－i.(√)(8)(2013·浙江卷改编)(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.(√)[感悟·提升]1．两点提醒　一是在实数范围内无解的方程在复数范围内都有解，且方程的根成对出现，如(1)；二是两个虚数不能比较大小，如(2)．2．两条性质　(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－

13、1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(各式中n∈N)．(2)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.学生用书第213页考点一　复数的概念【例1】(1)(2013·山东卷)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为(　　)．　A．2＋iB．2－iC．5＋iD．5－i(2)(2013·新课标全国Ⅰ卷)若复数z满足(3－4i)z＝

14、4－3i

15、，则z的虚部为(　　)．A．－4B．－C．4D.解析　(1)由(z－3)(2－i)＝5，得z＝＋3＝＋3＝＋3＝5＋i，∴＝5－i

16、.故选D.(2)(3－4i)z＝

17、4＋3i

18、＝5.∴z＝＝，∴z的虚部为.答案　(1)D　(2)D规律方法处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．【训练1】(1)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的(　　)．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为(　　)．A．0B．－1C．1D．－2解析　(1)ab＝0⇒a＝0或

19、b＝0，这时a＋＝a－bi不一定为纯虚数，但如果a＋＝a－bi为纯虚数，则有a＝0且b≠0，这时有ab＝0，由此知选B.(2)∵z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z2＋2的虚部为0.答案　(1)B　(2)A考点二　复数的几何意义【例2】(1)(2013·湖南卷)复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于(　　)．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)复数z＝(i为虚数单位)，则

20、z

21、＝(　　)．A．25B.C．5D.解析　(1)z＝i＋i2＝－1＋i，对应的点为(－1

22、,1)，位于复平面第二象限．(2)∵z＝＝＝＝＝－4－3i，∴

23、z

24、＝＝5.答案　(1)B　(2)C规律方法要掌握复数的几何意义就要搞清楚复数、复平面内的点以及向量三者之间的一一对应关系，从而准确理解复数的“数”与“形”的特征．【训练2】(1)(2013·四川卷)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是(　　)．A．AB．BC．CD．D(2)(2013·湖北卷)i