数学百大经典例题-算术平均数与几何平均数

《数学百大经典例题-算术平均数与几何平均数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、taoti.tl100.com你的首选资源互助社区典型例题一例1　已知，求证证明：∵　，　　　　　，　　　　　，　三式相加，得，即说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握．典型例题二例2已知是互不相等的正数，求证：证明：∵，∴同理可得：．三个同向不等式相加，得①说明：此题中互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立．特别地，，时，所得不等式①仍不取等号．典型例题三例3求证．分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式，并能由这一特征，思索如何将进行变形，进行创造”．证明：∵，两边同加得．即．taoti.tl100.com你的首选资源互助社区∴．同理可

2、得：，．三式相加即得．典型例题四例4若正数、满足，则的取值范围是　　　．解：∵，　∴，令，得，∴，或（舍去）．∴，∴　的取值范围是说明：本题的常见错误有二．一是没有舍去；二是忘了还原，得出．前者和后者的问题根源都是对的理解，前者忽视了后者错误地将视为．因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之．典型例题五例5（1）求的最大值．（2）求函数的最小值，并求出取得最小值时的值．　（3）若，且，求的最小值．解：（1）即的最大值为taoti.tl100.com你的首选资源互助社区当且仅当时，即　时，取得此最大值．（2）∴

3、　的最小值为3，当且仅当，即，，时取得此最小值．（3）∴　　∴即∵　∴　即的最小值为2．当且仅当时取得此最小值．说明：解这类最值，要选好常用不等式，特别注意等号成立的条件．典型例题六例6　求函数的最值．分析：本例的各小题都可用最值定理求函数的最值，但是应注意满足相应条件．如：，应分别对两种情况讨论，如果忽视的条件，就会发生如下错误：∵　，解：当时，，又，当且仅当，即时，函数有最小值∴　当时，，又，当且仅当，即时，函数最小值∴　典型例题七taoti.tl100.com你的首选资源互助社区例7　求函数的最值．分析：．但等号成立时，这是矛盾的！于是我们

4、运用函数在时单调递增这一性质，求函数的最值．解：设，∴．当时，函数递增．故原函数的最小值为，无最大值．典型例题八例8　求函数的最小值．分析：用换元法，设，原函数变形为，再利用函数的单调性可得结果．或用函数方程思想求解．解：解法一：设，故．由，得：，故：．∴函数为增函数，从而．解法二：设，知，可得关于的二次方程，由根与系数的关系，得：．又，故有一个根大于或等于2，taoti.tl100.com你的首选资源互助社区设函数，则，即，故．说明：本题易出现如下错解：．要知道，无实数解，即，所以原函数的最小值不是2．错误原因是忽视了等号成立的条件．当、为常数

5、，且为定值，时，，不能直接求最大（小）值，可以利用恒等变形，当之差最小时，再求原函数的最大（小）值．典型例题九例9　求的最小值．分析：此题出现加的形式和平方，考虑利用重要不等式求最小值．解：由，得又得，即．故的最小值是．说明：本题易出现如下错解：，故的最小值是8．错误的原因是，在两次用到重要不等式当等号成立时，有和，但在的条件下，这两个式子不会同时取等号（）．排除错误的办法是看都取等号时，与题设是否有矛盾．典型例题十例10已知：，求证：．分析：根据题设，可想到利用重要不等式进行证明．证明：taoti.tl100.com你的首选资源互助社区同理：说

6、明：证明本题易出现的思维障碍是：(1)想利用三元重要不等式解决问题；(2)不会利用重要不等式的变式；(3)不熟练证明轮换对称不等式的常用方法．因此，在证明不等式时，应根据求证式两边的结构，合理地选择重要不等式．另外，本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性．典型例题十一例11设，且，，求的最大值．分析：如何将与用不等式的形式联系起来，是本题获解的关键．算术平均数与几何平均数定理两边同加之后得．解：由，则有说明：常有以下错解：，．故．两式相除且开方得．错因是两不等式相除，如，相除则有．taoti.tl100.com你的首选资源互助社区不等

7、式是解决从“和”到“积”的形式．从“和”到“积”怎么办呢？有以下变形：或．典型例题十二例12　已知：，且：，求证：，并且求等号成立的条件．分析：由已知条件，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有，无法利用，故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现型，再行论证．证明：等号成立，当且仅当时．由以上得即当时等号成立．说明：本题是基本题型的变形题．在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，这容易形成思维定式．本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意灵活运用均值不等式．taoti.tl100.com你的首选资源互助社区

8、典型例题十三例13已知，且，求的最大值．分析：由，可得，故，令．利用判别式法可求得（即）的最大值，但因为有范围的限制，还必须综合韦达定理